1S Devoir surveillé n°1 08 / 10 / 08 55 mn
EXERCICE 1.
Soit la fonction f : x→ 2 x3 - 3 x2 + x.
1. Résolvons l'équation f( x ) = 0 .
Considérons 2 x3 - 3 x2 + x = 0
c-à-d x ( 2 x2 - 3 x + 1 ) = 0
c-à-d x = 0 ou 2 x2 - 3 x + 1 = 0
1 est une racine évidente de l'équation 2 x2 - 3 x + 1 = 0.
( En effet : 2 - 3 + 1 = 0 . )
L'autre racine est donc c / a = 1 / 2
Ainsi: 2 x3 - 3 x2 + x = 0 <=> ( x = 0 ou x = 1 ou x = 1 / 2 )
Conclusion: SIR = {0 ; 1/ 2 ; 1 }
2. Résolvons l'inéquation : 2 x2 - 3 x + 1 < 0.
a = 2 Les racines sont 1 et 1 / 2.
Nous voulons que 2 x2 - 3 x + 1 soit du signe de - a et non nul.)
Donc nous devons prendre x entre les racines en les excluant.
3. Soit la fonction g : x→ 2 x2 - 3 x + 1. a. Mettons g( x ) sous la forme " canonique" g( x ) = a ( x + b/ ( 2 a ) )2 - Δ / ( 4 a ) . a = 2 b = - 3 c = 1 Δ = b2 - 4 a c Δ = 9 - 8 = 1
Conclusion: SIR = ] 1/ 2 ; 1 [
Conclusion: g( x ) = 2 ( x - 3 / 4 )2 -1 / 8
b. Traçons la parabole P: y = 2 x2 .
Traçons la courbe ( C ): y = 2 x2 - 3 x + 1.
Traçons la droite D: y = 3 x - 1
On a: ( C ) : y = 2 ( x - 3 / 4 )2 - 1 / 8
| ( C ) est l'image de la parabole P : y = 2 x2
par la translation de vecteur 3 / 4 vect( i ) - (1 / 8) vect( j ). |
c. Résolution graphique de g( x ) = 0.
• Méthode 1. P rencontre D en deux points dont les abscisses sont
1 / 2 et 1 . D'où l'ensemble solution { 1 / 2 , 1 }.
• Méthode 2 . La parabole ( C ) tracée coupe l'axe des abscisses en deux
points dont les abscisses sont 1 / 2 et 1.
D'où le même ensemble solution { 1 / 2 , 1 }.
d. Tableau de variation de g.
On a : A = ( 8n × 62 ) / ( 8n × 8 ) car 2(3 n ) = ( 23 )n A = 62 / 8 = 36 / 8 = 9 / 2 Conclusion:
5. Soit Q( x) = 3 x4 - 2 x2 - 1 . Résolvons 3 x4 - 2 x2 - 1 = 0. ( 1 ) c-à-d X = x2 ( 2 ) 3 x2 - 2 x - 1 = 0 ( 3 ) ( 3 ) admet 1 comme racine évidente. ( En effet : 3 - 2 - 1 = 0 ) L'autre est donc c / a = - 1 / 3 Comme X doit être positif on retient pour X la valeur 1. ( 1 ) équivaut à 1 = x2 c-à-d x = 1 ou x = - 1.
EXERCICE 2 1. Soit P( x ) = a x² + b x + c avec a non nul et a , b , c des réels. Soit P( x + 1 ) - P( x ) =x pour tout réel x avec P( 1 ) =0 Trouvons P( x ). On a: P( x + 1 ) = a ( x + 1 )² + b ( x + 1 ) + c P( x ) = a x² + b x + c -------------------------------------- Par soustraction: P( x + 1 ) - P( x ) = a ( ( x + 1 )² - x² ) + b( ( x + 1 ) - x ) c-à-d P( x + 1 ) - P( x ) = a ( x+ 1 - x ) ( x + 1 + x ) + b c-à-d P( x + 1 ) - P( x ) = a ( 2 x + 1 ) + b c-à-d P( x + 1 ) - P( x ) = 2 a x + a + b Or P( x + 1 ) - P( x ) = x pour tout réel x. D'où par identification: 2 a = 1 a + b = 0 Mais P( 1 ) = 0 c-à-d a + b +c = 0 . Ainsi : a = 1 / 2 b = - 1 / 2 c = 0
2. Déduisons que: 1 + 2 + ........... + n = ( n ( n + 1 ) ) / 2 pour tout entier naturel non nul. On a: 1 = P( 1 + 1 ) - P( 1 ) pour x = 1 2 = P( 2 + 1 ) - P( 2 ) pour x = 2 ................................. n = P( n + 1 )- P( n ) pour x = n --------------------------------- En sommant: 1 + 2 + ..................+ n = P ( n + 1 ) - P( 1 ) = P( n + 1 ) P( n+ 1 ) = ( 1 / 2 ) ( n + 1 )² - ( 1 / 2 ) ( n + 1 ) P( n + 1 ) = (( n + 1 )( n + 1 - 1 ) )/ 2 Ainsi on a bien: 1 + 2 + ......... + n = ( ( n + 1 ) n ) / 2
Conclusion: 1 + 2 + ........ + n = ( n ( n + 1 ) ) / 2 pour tout entier naturel non nul 4. Application: 1+ 2 + ... + 999 = ( 999 ×1000 ) / 2 = 499500
4. Simplifions A = ( 2(3 n ) × 62 ) / 8n+1
x
- ∞ 3 / 4 +∞
g( x )
\ - 1 / 8 /
A = 9 / 2
CONCLUSION : SIR ={ - 1 ; 1 }
Conclusion : P( x ) =( 1 / 2 ) x² - ( 1 / 2) x