REMARQUES UTILES SUR LA LECON 1 1S OCT. 08
( Connaissances non obligatoires. )
1. Quand une équation du second degré a x2 + b x + c = 0 avec a non nul
admet 1 comme racine évidente l'autre est c / a.
2 . Quand une équation du second degré a x2 + b x + c = 0 avec a non nul
admet - 1 comme racine évidente l'autre est - c / a.
3. Si le réel b s'écrit sous la forme 2 b' on peut utiliser le discriminant " simplifié".
Δ' = b' ² - a c Δ = b² - 4 ac = ( 2 b' )² - 4 ac = 4 b' ² - 4 ac = 4 ( b' ² - ac ) = 4 Δ'
Il est clair que le signe de Δ est celui de Δ' .
De plus Δ = 0 ssi Δ' = 0.
La discusion est donc la même. Mais les formules sont plus simples.
• • Δ > 0 c-à-d Δ' > 0 les racines sont : ( - b' - √Δ' ) / a et ( - b' + √Δ' ) / a
• • Δ = 0 c-à-d Δ' = 0 la racine ( "double" ) est - b' / a .
• • Δ < 0 c-à-d Δ' < 0 Aucune racine.
L'INTERËT DU " DISCRIMINANT SIMPLIFIE" Δ' QUAND ON PEUT L'UTILISER EST DE
CALCULER UN DISCRIMINANT PLUS PETIT ET D'AVOIR LA FORME SIMPLIFIEE DES
RACINES EVENTUELLES.
ATTENTION. QUAND b N' EST PAS DE LA FORME 2 b' IL FAUT S' ABSTENIR.
EXEMPLE . Résoudre x2 - 6 x + 4 = 0 dans l'ensemble des réels.
a = 1 b = - 6 c = 4 Δ ' = b' ² - a c b' = - 3
Δ ' = ( - 3 )2 - 4 = 5 Δ ' > 0 .
Les deux racines sont: ( - b' - √Δ' ) / a = 3 - √5
( - b' + √Δ' ) / a = 3 + √5
L'ensemble solution est donc:
| S = { 3 - √5 ; 3 + √5 } |
( Le calcul de Δ = 20 aurait donné la forme non simplifiée des solutions. )
| S = {( 6 - √20 ) / 2 ; ( 6 + √20 ) / 2 } |