DV maison 10 nov 2014 TES Spé

           INFO  DV Maison     10 novembre 2014  TES

         Le taux d'évoution des prix en pourcentage  t % dans les super-marchés est étudié en 2011.

        On convient du tableau:

mois   janvier  février  mars    avril   mai   juin    juillet  aout septembre   octobre  novembre  décembre 
n°   x 1 2 3   4 5 6    7 8 9 10 111 12
100 t   %   - 60    %        99  %       330   %          

    On a multiplié par 100  le  t %

     On convient de modéliser la situation par la fonction f du troisième degé suivante.

        Pour le mois x   on convient que f( x ) est  100 t.

        Ainsi pour le mois x le taux réel  t %   est  f(x ) / 100   %   c-à-d      t = f(x ) / 100

                    f( x ) =  a x3 + b x2 + c + d   pour tout x dans [ 1  , 12 ]

  1. a. Calculer f ' et f "  et traduisons que la courbe de f admet un point d'inflexion.

          f est une fonction polynôme.

          Elle est dérivable  sur [ 1 , 12 ].

         Soit x dans [ 1 , 12 ].

       On a :

             f ' ( x ) = 3 a x2 + 2 b  x  + c

             f ' ' ( x  ) = 6 a x  + 2 b

          Le fait que Cf   admette un point d'inflexion en x = 5

           signifie que f ' admet  un extrémum en x = 5.

        c-à-d

                        f ' ' s'annule en x = 5 en changeant de signe.

       Donc                f ' ' ( 5 ) =0

         c-à-d

                               0 = 6 a × 5 + 2 b

          c-à-d

                 Conclusion:           15 a + b = 0

   b . Traduire en trois équations les trois valeurs connues.

         f ( 1 ) = - 60           x = 1 pour le mois de janvier

         f ( 4 ) = 99               x = 4  pour le mois d'avril

         f( 7 ) = 330              x = 7 pour le mois de juillet.

         On obtient donc respectivement :

         Conclusion:

           a + b + c + d = − 60

          64 a + 16 b + 4 c + d = 99

           343 a + 49 b + 7 c + d  = 330 

     c. Résoudre le système obtenu avec ces quatre équations

            à l'aide d'un calcul matriciel.       

           a + b + c + d = − 60

          64 a + 16 b + 4 c + d = 99

           343 a + 49 b + 7 c + d  = 330 

          15 a  + b                        = 0

             La matrice principale dusystème est 

              248d

             Det( M ) ≠ 0    donc M est inversible

              Soit  la matrice colonne des seconds membres :

                125h

              Soit la matrice colonne des inconues:

                 132k

               Le système  M × X = Y

                s'écrit :     X = M −1 ×  Y

             On obtient avec la calculatrice :

              Conclusion:

                   887u

            Donc : 

                           1111y

    2.a. Etudier les variations de la fonction f.

           f '( x ) = − 4 x2 + 40 x − 19

             Δ  = b2 - 4 ac 

             Δ = 402 - 4 × 4 × 19  1296 = 362

             Δ > 0

            Dans IR les racines sont :

              1sol

                et 

            2sol

            D'après la règle des signes d'un trinôme du second degré:

           on a le tableau de variation sur [ 1 , 12 ] suivant:     

     x     1                                                    9,5                              12 
f ' ( x )                                 +                       0                -
f ( x )   - 60                    ↑                         421,6          ↓

      b . Si le modèle se confirme les mois suivants , interpréter le tableau de variation.

           Vers la fin septembre début octobre le taux baisse juqu'en décembre.

      c. Depuis juillet le taux n'a cessé d'augmenter pour atteindre 3,8% en novembre.

           Peut-on dire que le modèle est convenable jusqu'en décembre? Argumenter.

               3,8 % en novembre correspondrait  à 380 pour f( 11 ).

               On a d'après le la modélisation     f( 11 )  ≈  376 . Ce qui est proche de 380.

             Mais  prend cette valeur dans une phase de  diminution .

                  NON.

           Le modèle ne convient pas pour la période d'octobre à novembre.

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