INFO DS n° 1 TES SPE 14 oct 2013

                                              DS n° 1    TES   Spécialité math.     Lundi 14 octobre 2013

                 EXERCICE  1

               Marc, au cours de ses trois semaines de vacances d'été, a décidé de partir de Paris 

               puis de faire une étape à Lyon pour ensuite arriver à Marseille.

               Dans chacune de ces villes il achète dans un MARCHE V  la même quantité x de sacs de bonbons ,

               la même quantité y de sachets de carambars et  la même quantité z de canettes de soda.

               Finalement il a dépensé 26 € au départ à Paris , 31 € à Lyon et enfin 38 € à l'arrivée à

               Marseille.

               Le tableau des tarifs, en euros, suivant les MARCHE V des trois villes est le suivant:

             1.  a.Donner la matrice P des tarifs suivants les MARCHE V des villes.

                  b. La matrice P est-elle inversible ? ( Justifier )

                 c. Avec la calculatrice calculer la matrice inverse P ^{- 1}   .

             2. Donner la matrice colonne X des quantités.

             3. Donner la matrice colonne Y des dépenses.

             4. Ecrire un système qui traduit la situation.

             5. Résoudre le système P × X = Y

                à l'aide de la calculatrice.

                 Combien dans chaque ville achète-t-il de sachets de bonbons?

                de sacs de carambars ? de canettes de soda?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                 REPONSE:

          1.a. Donnons la matrice P:

        b. Regardons si la matrice est inversible.

             Avec la calculatrice on a det( P ) = 5

              Donc  det( P ) ≠ 0

            Méthode:

            TI 84:

                •Première étape entrer notre matrice sous le nom de A.

                2ND   MATH     pour avoir MATRIX

               Mettre le curseur sur EDIT  en haut à droite puis

               descendre sur la lettre A en ligne 1 enfin appuyer sur ENTER

                 Apparaît en haut de l'écran:

                 MATRIX[A]         ..... ×   ....

                   Mettre à gauchede la croix  3  puis appuyer sur  ENTER 

                   Mettre alors à droite de la croix  3  puis appuyer sur  ENTER

                   Apparaît une matrice carrée d'ordre 3.

                   Le curseur est sur le terme de rang ( 1 ; 1 )

                   Faire    3    ENTER  puis le curseur se déplace sur le terme de rang ( 1 ; 2 )

                   Faire  2        ENTER

                   Ainsi de suite remplir la matrice A.

                   Faire   2ND   MODE    pour avoir QUIT

                   • Seconde étape : Le calcul du déterminant de A 

                      c-à-d  det( A ).

                     De nouveau :

                      2ND   MATH     pour avoir   MATRIX

                    Mettre le curseur sur MATH  en haut au milieu   puis ENTER

                    Apparaît det(   à l'écran. 

                    Faire     2ND     MATH     pour avoir   MATRIX

                    Appuyer sur ENTER  pour avoir [ A ] qui s'affiche

                    A l'écran il doit y avoir  :                det([ A ]

                    Appuyer sur ENTER

                     La valeur du déterminant apparaît.  Ici 5

                   Conclusion : La matrice P est inversible.

          c. Calculons la matrice inverse P ^{- 1}   .

                  Avec la calculatrice :  Faire revenir [A] puis utiliser la touche    x ^{- 1}

                     On obtient:

              2. Donnons la matrice X  colonne des quantités.

             3 . Donnons la matrice Y colonne des dépenses.

            4. Traduisons les données par un système.

      C'est :  

              Conclusion :         P × X = Y    

          5.Résolvons le système     P × X = Y

               On a:           X = P ^{- 1} × Y

              A la calculatrice on obtient  pour X la matrice colonne suivante:

         Conclusion: Marc chaque fois dans la ville achète 2 sacs de bonbons ,

               3 sachets de carambars et 7  canettes de soda.  

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

            EXERCICE 2 :

                Soit la fonction    f : x →   a x²  + b x + c                où a , b , c sont des réels.

                Soit ( Γ ) sa courbe dans un repère orthonormal. 

               On sait que sa courbe ( Γ ) , qui est une parabole, passe par les trois points suivants :

                     A  (1 ; 2 )   , B ( - 1 ; 6 )  , C ( 2 ; 9 ).

              1. Traduire par des égalités l'appartenance de ces points à ( Γ ) .

              2. Résoudre avec la calculatrice le système ainsi obtenu dont les inconnues sont a , b , c.

                  (  La courbe ( Γ ) n'est pas demandée. )

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

              REPONSE:

      1. Traduisons les données:

                 •   A  (1 ; 2 ) est sur ( Γ ) donne :             a + b + c = 2

                 •   B ( - 1 ; 6 )  est sur ( Γ ) donne :          a - b + c = 6

                  •  C ( 2 ; 9 )  est sur ( Γ ) donne :           4 a + 2 b + c = 9

     2. Résolvons le système ainsi obtenu.

            Considérons :

                      a + b + c = 2               L₁

                      a - b + c = 6                L₂

                      4 a + 2 b + c = 9         L₃   

           Il se traduit sous forme matricelle :

           A × X = Y 

             avec 

           Comme de(A ) =  6      non nul 

           On peut  trouver la matrice inverse  A^{- 1}    

          On a :     X = A^{- 1}  × Y    

           On obtient à la calculatrice :

             Conclusion :   f( x ) = 3 x²   - 2 x  + 1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

               EXERCICE 3:

              Deux candidats FRED et GASTON se sont présentés aux élections locales dans les trois villes

             ARCADE , BEAUVOIR et CARNEGE de la circoncription  de MONTCASSON.    

             50% seulement des électeurs inscrits de ARCADE sont allés voter.

              1 / 3 seulement des électeurs inscrits de BEAUVOIR  sont allés voter.

              25 % seulement des électeurs inscrits de CARNEGE sont allés voter.

             On sait que les fréquences de votes pour FRED et GASTON suivant les trois villes sont données

            par la matrice suivante:

            Soit  la matrice M suivante:

                  C'est la matrice des fréquences de votes pour les deux candidats  FRED et  GASTON

                 suivant les trois villes  ARCADE , BEAUVOIR et CARNEGE .

           1. Quel est l'ordre de la matrice M ?

           2. Que représente le terme 60%  de rang ( 2 ; 1 ) dans la matrice M ?

           3. Dans la ville de CARNEGE lequel des deux candidats a eu le plus de voix?

           4. Donner la matrice L  d'ordre ( 1 ; 3 ) des nombres de votants suivant

                les villes  ARCADE , BEAUVOIR et CARNEGE .

           5.  Déterminer la matrice R telle que R = L × M .

                Quel est l'ordre de R ?

               Que donne la matrice R comme information?    

           6. Qui a été élu ?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------    

             REPONSE:

                1. Donnons l'ordre de la matrice M.

                     C'est ( 3 , 2 )

                 2. Donnons la sigification du 60 %.

                        Il y a 60 % des votants de la ville de  BEAUVOIR qui ont 

                          voté pour le candidat FRED.

                3.Comparons les scores dans la ville de CARNEGE

                        FRED à eu 70%  des votants alors que GASTON

                      n'a eu que 40 %  des votants.

                    Conclusion :

                 C'est Fred qui a eu le plus de voix dans la ville de CARNEGE .

                  4. Donnons la matrice L.

                       L = ( 20000× 50%      60000 × ( 1 / 3 )       60000 × 25%  )

                          c-à-d  

              Conclusion:         L = ( 10000           20000         15000)

                   5.a. Déterminons la matrice R.

                                R =  L × M

                        C'est donc une matrice  d'ordre ( 1 ; 2 )

                  avec la calculatrice on obtient.

                       Conclusion:      R = (    24500        20500  )       

                       Cette matrice indique pour le terme de rang ( 1 ; 1 ) 

                       le nombre de voix de FRED en tout  c-à-d 24500 .

                     Elle donne le nombre total de voix de GASTON 

                         comme terme de rang ( 1 ; 2 ) c-à-d 20500.

                 6. Donnons le vainqueur.

                     Conclusion : FRED est le vainqueur.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

            EXERCICE 4

                    Soit la matrice N suivante:

                  1. Calculer N² . Que remarquez vous ?

                  2.  Calculer la matrice N × ( N - I ) où  I  est la matrice unité d'ordre 2.

                  3. La matrice N est-elle inversible ?                    

                 4. Résoudre le système suivant dans IR²:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

          REPONSE:

             1. Calcul de N² .

                      Avec la calculatrice  on obtient la matrice N de nouveau .

                            Conclusion N²  = N 

              2.Calcul de N× ( N - I )

                   On a : N × ( N - I ) = N² - N× I = N² - N

                        D"après la question précédente   N² - N = 0

                        On obtient la matrice nulle

                  Conclusion :   N ( N - I ) = 0

                 3. Regardons si la matrice N est inversible.

                    Avec  la calculatrice  det( N ) = 0

                      Donc:

                            Conclusion:    N  n'est pas inversible.

                  4. Résolvons le système:

                         Il peut s'écrire :     A ×  X = Y 

                              avec

         et

        et

                            On a : det( a ) = - 19      non nul

                        La matrice carrée A est inversible.

                         On a :    X = A ^{- 1} × Y   

      On obtient avec la calculatrice pour X: 

             Conclusion: 

-------------------------------------------------------------------