MODELISATION 4 novembre 2013 TES Spé maths
EXERCICE ( à faire )
On propose un modèle polynômial de degré 2 ,
f( x ) = a x2 + b x + c
où x est le rang de l'année à partir de 1990 et f( x ) , exprimé
en kg, est la consommation par habitant
de chocolat l'année de rang x.
On dispose des statistiques suivantes:
| rang de l'année | 6 | 9 | 18 |
| Kg de chocolat par habitant | 23 | 23 | 19,1 |
1. Préciser les années de rangs 6 ; 9 ; 18 .
REPONSE:
6 correspond à l'année 1990 + 6 = 1996
9 correspond à l'année 1990 + 9 = 1999
18 correspond à l'année 1990 + 18 = 2008
Conclusion : Les années sont 1996 ; 1999 ; 2008
2. Etablir un système qui permet de déterminer la fonction f.
REPONSE:
f( 6 ) = 23 se traduit par 36 a + 6 b + c = 23
f( 9 ) = 23 se traduit par 81 a + 9 b + c = 23
f( 18 ) = 19,1 se traduit par 324 a + 18 b + c = 19,1
On peut considérer le système :
Conclusion :
36 a + 6 b + c = 23
81 a + 9 b + c = 23
324 a + 18 b + c = 19,1
3. Résoudre le système trouvé et donner l'expression de la fonction f.
REPONSE:
La matrice principale du système est :
| / | 36 | 6 | 1 | \ | |
| A = | | | 81 | 9 | 1 | | |
| \ | 324 | 18 | 1 | / |
Soit la matrice des inconnues:
| / | a \ | |
| X = | | | b | |
| \ | c / |
Soit la matrice des seconds membres:
| / | 23 \ | |
| Y = | | | 23 | |
| \ | 19,1 / |
On le système s'écrit : A × X = Y
det( A ) = - 324
Donc det( A ) ≠ 0
La matrice A est inversible.
On peut considérer son invers A- 1 .
Le système se traduit par X = A- 1 × Y
La calculatrice donne
| / | - 13 / 360 \ | |
| X = | | | 13 / 24 | |
| \ | 421 / 20 / |
Ainsi : a = - 13 / 360
b = 13 / 24
c = 421 / 20
Conclusion : f( x ) = ( - 13 / 360 ) x2 + ( 13 / 24 ) x +( 421 / 20)
4. Faire une prévision pour 2014.
REPONSE:
2014 = 1990 + 24
Le rang x de l'année est donc x = 24
On a: f( 2 4 ) = 13,25
Conclusion :
Avec la modélisation en 2014 la consommation par habitant sera de 13,25 Kg
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