INFO TEST n° 2 TES SPE 18 novembre 2013

                 TEST n° 2    TES   SPE MATH             18 novembre 2013

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   EXERCICE 1

       La population de la ville d'Alamuno a évolué suivant le tableau suivant:

       Une année de rang x est l'année 1975 + 5 x

       f( x) est le nombre de milliers d'habitants l'année de rang x

       Le graphique permet de penser à modéliser par une

      fonction homographique  d'expression :

             f( x ) = a + b / ( x + 3)

     1. Traduire par un système le fait que

             f( 0 ) = 3       f( 2) = 7          f( 7 ) = 10

     2. En déduire a et b.

         Donner l'expression de f obtenue.

     3. A l'aide de cette modélisation que peut-on prévoir

          pour 2020 ?

    4. Le nombre d'habitants reste-t-il toujours en dessous

         d'un certains seuil?

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    REPONSE:

       1. Traduisons  f( 0 ) = 3 ,  f( 2) = 7     et   f( 7 ) = 10

                      3  = a + b / ( 0 + 3 )

                      7 =  a + b / ( 2 + 3 )

                      10 = a + b / ( 7 + 3 )

         2. Résolvons le système.

                   On a:

                          9 = 3 a + b              L₁        En multipliant par 3  les deux membres

                          35 = 5 a + b            L₂        En multipliant par 5  les  deux membres

                          100 = 10 a + b         L₃       En multipliant par 10  les deux membres

              ATTENTION: On ne peut pas inverser une matrice qui n'est pas carrée

                Si vous souhaitez utiliser des matrices il faut se limiter au système des 

                 deux premières équations. Il faut le résoudre puis vérifier que la troisième équation 

                 est compatible avec les valeurs de a et b trouvées.

                 Le plus simple ici est la méthode traditionnelle

                            L ₁   ← L₂   - L₁

                  On obtient le système équivalent :

                      26 = 2 a

                      b = 35 - 5 a 

                      100 = 10 a + b

            c-à-d

                       a = 13

                        b = 35 - 65  = - 30

                       100 = 10 × 13  - 30   vérifiée

           Conclusion:    a = 13    b = - 30 

             f( x ) = 13 - 30 / ( x + 3 )

    3.  Utilisons la modélisation pour faire une prévision pour 2020

           2020 = 1975 + 5 × 9           2020 est de rang  9

           Donc x = 9

           f ( 9) = 13 - 30 / 12 = 13 - 5 / 2 = 10,5  milliers d'habitants

           Conclusion : La modélisation conduit à penser 

                en 2020 qu' il y aura 10 500 habitants

              Cela ne fait que 500 habitants de plus en 10 ans.

   4. Regardons si le nombre d'habitant est plafonné.

           OUI.     - 30 / ( x + 3 ) tend vers 0 quand x tend vers + ∞.

            Donc   13 - 30 /( x + 3 ) tendra vers 13 sans l'atteindre

            quand x tend vers + ∞.

              Comme f( x) est en milliers d'habitants,

              sur le long terme il y aura un peu moins de 13 000 habitants

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   EXERCICE 2 

           Un ostréiculteur a décidé de modéliser sa recette

           à l'aide d'une fonction f , trinôme du second  degré. 

                       f ( x ) = a x² + b x+ c   avec x dans l'intervalle [ 0 ; 10 ]

           f( x ) est la recete exprimée en euros pour x tonnes d'huîtres  vendues.

            Il a relevé les résultats suivants:

            1. Trouver l'expression de f.

           2. Quel est  la recette prévisible pour la vente de 9 tonnes d'huîtres?

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           REPONSE:

           1. Donons f( x ).

           On a :   f ( 0 ) = 0           c-à-d    c = 0  

                        f( 1 ) = 3800       c-à-d     a + b + c = 3800

                        f( 2 ) = 7200      c-à-d      4 a + 2 b + c = 7200 

        Résolvons le système :

                         c = 0

                          a + b + c = 3800

                           4 a + 2 b + c = 7200

          On peut utiliser ici la forme matricielle du système.

          Mais comme on a déjà une inconnue c trouvée 

          ce n'est pas très intéressant.

           Le système équivaut à:

                      c = 0

                     a + b  = 3800

                     2 a + b = 3600

           c-à-d         L₃ ← L₃ - L₂   

                c = 0                                  L₁

               b = 3800 - a                       L₂

               a = 3600 - 3800 = - 200     L₃

            c-à-d 

                   c = 0

                   b = 4000  

                   a = - 200 

         Conclusion:

                  f( x ) = - 200 x²  + 4000 x 

    2. Donnons la recette pour 9 tonnes vendues.

                f( 9 ) = - 200 × 9²  + 4000 × 9  = 19800 €

       Conclusion :  La recette est de 19800 € pour la

                        vente de 9 tonnes d'huîtres

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     EXERCICE 3

           On s'intéresse au taux d'évolution des prix t % au début de 2011.

           On convient pour la lisibilité de considérer 100 t% au lieu de taux t %.

           Il suffit  de diviser par 100 pour retrouver le vrai taux de variation des

           prix de 2010 à 2011.

          Le taux de variation des prix d'un mois se calcule par rapport aux prix

          du même mois de l'année 2010.

           Voici le tableau pour les mois de janvier ( rang 1) , avril ( rang 4 ) et juillet ( rang 7 ).

             On pense modéliser à l'aide de la fonction polynôme

             du troisième degré d'expression:

              f (x ) = a x³ + b x² + c x + d

               x est le rang du mois c'est-à-dire un entier entre 1 et 12.

              f( x ) % = 100 × pourcentage t% de variation des prix le mois x .

            On a constaté le mois de rang x = 5  qu'il y avait  un changement 

            dans l'évolution des pourcentages de variations des prix.

            Avant le mois de rang x = 5 la hausse des prix s'accélère.

            Après le mois de rang x = 5 la hausse des prix décélère.

           Cela se traduit par un extremum pour f ' la dérivée de f.

           C'est-à-dire f ' ' s'annule en changeant de signe en x = 5.

          On dit que f admet un point d'inflexion en x = 5.

         1. Calculer f ' et f ' '.

            Traduire f ' ' ( 5 ) = 0  par une équation.

        2. A l'aide du tableau ci-dessus et de la question précédente

            donner un système de quatre équations d'inconnues

            a , b , c , d.

         3. Résoudre alors ce système.

             On l'écrira sous la forme matricielle et on utilisera

             la calculatrice en présentant les solutions exactes

             éventuellement sous forme fractionnaire.

             Donner l'expression f( x).

         4. Donner le tableau de variation de la fonction f

             entre 1 et 12.

         5. Que permetde prévoir ce tableau pour les mois

             suivants ,  août, septembre, ..... , décembre 2011?

            Pour novembre quel taux de variation des prix est

            prévu par le modèle ? 

        6. Finalement en novembre 2011 le taux de variation des prix 

                a été de 3,8 %.

           La modélisation faite a -t-elle été judicieuse?

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           REPONSE:

                     ATTENTION:    f( x) = 100 t

   1.  • La fonction  f est définie et dérivable dans IR.

            On a :             f ' : x → 3 a x²  + 2 b x + c

         • La fonction trinôme  du second degré f est aussi dérivable dans IR.

           On a :          f ' ' : x → 6 a x  + 2 b 

         • Traduisons  f ' ' ( 5 ) = 0

            Il vient:       30 a + 2 b = 0

           c-à-d         15 a + b = 0

              Conclusion:   f ' ( x ) = 3 a x²  + 2 b x + c   

                                      f ' ' ( x) = 6 a x  + 2 b 

                                      15 a + b = 0

         2. Donnons un système de quatre équations.

         On a :   f( 1 ) = - 60   c-à-d     a + b + c + d = - 60

                      f( 4 ) = 99      c-à-d      64 a + 16 b + 4 c + d = 99

                      f( 7) = 330    c-à-d      343 a + 49 b + 7 c + d = 330

                       On a aussi l'égalité de la question 1.

                 Conclusion :

         3. Résolvons ce système.

              La matrice principale est A. 

             Le système s'écrit : A × X = Y

                     det( A ) =  162    non nul

             Donc  A est inversible.

             On a:     X = A^{- 1}   × Y

                La calculatrice donne :

             Conclusion:     a = - 4 / 3    b = 20     c = - 19      d = - 179 / 3

    4. Donnons le tableau de variation de f entre 1 et 12.

                En effet: 

              Δ ' > 0  

     5. Utilisation du tableau.

            Entre 4,5 et 12  la fonction f décroit.

            On peut donc prévoir qu'à partir de la mi-septembre

           la taux de variation va diminuer jusqu"en décembre.  

     6. Regardons la prévision pour le mois de novembre 2013               

              f( 11) ≈ 376,67

                   Comme f( x) = 100 t

                                    f(x ) / 100 = t

                 ainsi :           t% = f(11) % / 100 = 3,7667 %

            Cela signifie 3,7667 % pour le taux prévu en novembre.       

              Le taux réel a été de 3,8%

            Donc jusqu'en novembre  la modélisation est correcte.  

            Pour décembre on a : f( 12 ) = 288,33

            Cela correspond à une prévision de 2,8833 %

            On ne peut pas en dire davantage.

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