RAPPELS SUR L'ALGEBRE DE BOOLE BTS1 DEC. 08
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1. ASPECT THEORIQUE.
Une algèbre de Boole est un ensemble E ( non vide ) , dont les éléments
sont des variables notées a , b , c , d , e , f , g .... etc
" dites booléennes" qui ne peuvent prendre que
deux valeurs 0 ou 1, muni de trois opérations.
+ " la somme booléenne" définie par :
| a | b | a + b |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
• le "produit booléen"défini par:
a
b
a • b
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
¯ la "complémentation" définie par:
| a | a |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
et qui ont des particularités.
+ est Associative. ( a + b) + c = a + ( b + c ) = a + b +c
+ admet 0 comme élément Neutre. a + 0 = 0 + a = a
+ est commutative. a + b = a + b
+ est Distributive par rapport à • a + ( b • c ) = ( a + b ) • ( a + c )
• est Associative. ( a • b) • c = a • ( b • c ) = a • b • c
• admet 1 comme élément Neutre. a • 1 = 1 • a = a
• est Commutative. a • b = a • b
• est Distributive par rapport à + a • ( b + c ) = ( a • b )+ ( a • c )
Existence d'un complémentaire a pour tout a dans E
a + a = 1 a • a = 0 pour tout a dans E
2. EXEMPLE.
L'ensemble des propositions mathématiques
avec les opérations "ou " "et " "NON" .
3. PROPRIETES DE L'ALGEBRE DE BOOLE E ( + , • , ¯ )
Soit a , b , c trois variables booléennes c-àd trois éléments de E.
◊ Pour tout a dans E ( Idempotence )
a + a = a Aucun multiple TRES IMPORTANT
a • a = a Aucune puissance TRES IMPORTANT
◊ Pour tout a et tout b dans E ( Absortion )
a + ( a • b ) = a TRES IMPORTANT
a • (a + b ) = a
◊ Pour tout a et tout b dans E ( Lois de Morgan )
La complémentation de a + b est a • b TRES IMPORTANT
La complémentation de a • b est a + b TRES IMPORTANT
◊ Pour tout a et tout b dans E
a + 1 = 1 TRES IMPORTANT
a • 0 = 0 TRES IMPORTANT
a + ( a • b ) = a + b ( TRES IMPORTANT pour les ex. )
a • ( a + b ) = a • b
5. Remarque:
a + ( a • b ) est interprété même
sans parenthèse comme a + b.
Par contre pour a • ( a + b ) il faut mettre les
parenthèses pour éviter les confusions.
6. MINTERM .
♥ Les Minterms de deux variables a et b sont les expressions suivantes :
a • b ; a • b ; a • b ; a • b TRES IMPORTANT
On peut les faire apparaitre dans un tableau:
| a \ b | 0 | 1 |
| 0 | a • b | a • b |
| 1 | a • b | a • b |
Quand une expression A ne comporte que deux variables a et b
on peut toujours la présenter comme somme de certains des minterms
a • b ; a • b ; a • b ; a • b
Dans le tableau précédent on met des 1 à la place des minterms dont
elle est la somme.
Par exemple; Soit A = a • b + a • b va se traduire par le tableau
( de Karnaugh ) suivant .
a \ b
0
1
0
1
1
1
Ici on trouve A = b à l'aide visuelle du tableau de Karnaugh de A.
♥ Les Minterms de trois variables a , b , c sont les expressions suivantes :
a • b • c ; a • b • c ; a • b • c ; a • b • c ; a • b • c ;
a • b • c ; a • b • c ; a • b • c
On les met en évidence dans le tableau ci-dessous.
| a \ b c | 0 0 | 0 1 | 1 1 | 1 0 |
| 0 | a • b • c | a • b • c | a • b • c | a • b • c |
| 1 | a • b • c | a • b • c | a • b • c | a • b • c |
Quand une expression A ne comporte que trois variables a , b , c
on peut toujours la présenter comme somme de certains des minterms
précédents.
Dans le tableau précédent on met des 1 à la place des minterms dont
elle est la somme.
Par exemple; Soit A = a • b • c + a • b • c + a • b • c
va se traduire par le tableau
a \ b c
0 0
0 1
1 1
1 0
0
1
1
1
1
C'est le tableau de Karnaugh de A.
Il permet de simplifier l'expression de A.
Ici on peut dire : A = a • b + a • b • c