DS n° 1 BTS1A 23/10/09

   DS n° 1           BTS1A              23/ 10/09  

             EXERCICE 1

                  Soit A une expression booléenne de variables a , b , c

                 dont le tableau de Karnaugh est :

a \ bc 00 01 11 10
0 1     1
1 1   1 1

                1.  Donner une expression de A.

                2.  A l'aide du tableau de Karnaugh donner une forme simple de A.

                3.  Donner l'expression de  .

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                   EXERCICE 2

                        1. Résoudre dans IR :

                               3 x - 2 < 0   =>    1 - 2 x  ≤ 0

                         2.   Exprimer à l'aide d'un connecteur :

                                   ( x , y ) ≠ ( 2 ; - 3 )

                        3. Donner la négation de :

                                        x - 2 < 0   =>    1 + 2 x  ≤ 0   où x est dans IR.

                         4.  Donner la négation de:  

                           

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               EXERCICE 3                                          

          1.  Montrer que :                   pour tout entier naturel non nul n.

 

         2. Montrer par récurrence sur IN-{ 0 } que :  

                    est divisible par 3 pour tout entier naturel non nul n.

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    EXERCICE 4   

                                    Soit                

                                    où a , b , c sont des variables  booléennes.

     1. Simplifier    à l’aide d’un tableau de Karnaugh.

    2  En déduire que :

                                         

     3. Dans un organisme qui aide des personnes au chômage

         à trouver un emploi, on considère pour ces personnes ,

         trois variables booléennes définies ainsi :      

           a = 1  si la personne est âgée de 45 ans ou plus.  ( Sinon a = 0 )

         

           b = 1 si la personne est au chômage depuis un an ou plus. ( Sinon b = 0 )

 

           c = 1  si la personne a déjà suivi une formation l’année précédente. ( Sinon c = 0 )

 

            Une formation qualifiante sera mise en place pour les personnes vérifiant au moins un des critères      

            suivants : 

        •  Avoir 45 ans ou plus et être au chômage depuis moins de un an.

        •   Avoir moins de 45 ans et ne pas avoir suivi de formation l’année précédente.

        •   Être au chômage depuis un an ou plus et ne pas avoir suivi de formation

            l’année précédente.

       •    Avoir moins de 45 ans , être au chômage depuis moins de un an et 

            avoir suivi une formation l’année précédente.

 

            Les personnes qui ne répondent à aucun de ces quatre critères,

          pourront participer à un stage d’insertion en entreprise.

         

     a. Ecrire l’expression booléenne  F en fonction des variables a , b ,c 

        qui traduit le fait que la personne pourra suivre cette formation qualifiante.

  

    b. En déduire en utilisant le résultat du 1. , les personnes qui ne

        pourront pas participer à la formation qualifiante  et qui participeront

        donc à un stage d’insertion en entreprise.

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