INFO 1 DS n°1 BTS1A 23/10/09

   INFO DS n° 1           BTS1A              23/ 10/09  

             EXERCICE 1

                  Soit A une expression booléenne de variables a , b , c

                 dont le tableau de Karnaugh est :

a \ bc 00 01 11 10
0 1     1
1 1   1 1

                1.  Donner une expression de A.

                2.  A l'aide du tableau de Karnaugh donner une forme simple de A.

                3.  Donner l'expression de  .

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          Réponse:

             1. D'après le tableau de Karnaugh de A on a: 

                      

                2.Simplification possible avec le tableau de Karnaugh.

a \ bc 00 01 11 10
0 1     1
1 1   1 1

             On a :                    

    3. L'expression de correspond aux cases vides du tableau

        de Karnaugh de A.

                         

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                   EXERCICE 2

                        1. Résoudre dans IR :

                               3 x - 2 < 0   =>    1 - 2 x  ≤ 0

                         2.   Exprimer à l'aide d'un connecteur :

                                   ( x , y ) ≠ ( 2 ; - 3 )

                         3. Donner la négation de :

                                        x - 2 < 0   =>    1 + 2 x  ≤ 0   où x est dans IR.

                         4.  Donner la négation de:  

                           

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         Réponse:

               1. Résolution de   3 x - 2 < 0   =>    1 - 2 x  ≤ 0.

                                      c-à-d     3 x - 2 ≥ 0     ou     1 - 2 x  ≤ 0.

                                      c-à-d     3 x  ≥  2      ou     1 ≤  2 x .

                                      c-à-d      x  ≥  2 / 3     ou     1/ 2  ≤  x 

                                      c-à-d      x  ≥  2 / 3     ou     x ≥ 1 / 2

                                      c-à-d      x  ≥  2 / 3

                 Conclusion:     SIR= [ 2/ 3  , + ∞ [

               2. Exprimons ( x , y ) ≠ ( 2 ; - 3 ).

                        c-à-d   la négation de:  x = 2  et  y = - 3            

                        c-à-d     x ≠ 2   ou  y  ≠ - 3           ( Lois de MORGAN )

                             Conclusion:    x ≠ 2   ou  y  ≠ - 3     

                  3. Soit x dans IR , donnons la négation de  x - 2 < 0   =>    1 + 2 x  ≤ 0  

                   c-à-d  la négation de:   NON( x - 2 < 0)   ou    1 + 2 x  ≤ 0

                        c-à-d      NON( NON( ( x - 2 < 0 ) ) )  et   NON( 1 + 2 x  ≤ 0 )    ( LOI de MORGAN)

                       c-à-d      x - 2 < 0   et    1 + 2 x  >  0 

                                Conclusion:      x - 2 < 0   et    1 + 2 x  ≤ 0       

               4. Donnons la négation de:  

                           

                         Conclusion:                              

                                   

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               EXERCICE 3                                          

          1.  Montrer que :        

             pour tout entier naturel non nul n.

         2. Montrer par récurrence sur IN-{ 0 } que :  

                    est divisible par 3 pour tout entier naturel non nul n.

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          Réponse :

                    1.  Montrons que 10n + 1 - 1 = 9× 10n  + (  10n - 1 )

                              pour tout entier naturel non nul n.

                       Soit n dans IN-{ 0 }.

                      On a :   10n + 1 = 10 × 10n  = ( 9 + 1 ) 10n

                              Donc      10n + 1 =   9× 10n  +  10n

                             Ainsi       10n + 1 -1     =   9× 10n  +  10n   -1 

                           Conclusion:     10n + 1 - 1 = 9× 10n  + (  10n - 1 )    

                      pour tout entier naturel non nul n.

                    2. Récurrence sur IN-{ 0 } .

                           •  n = 1   ( Amorce )

                              On a :  10n - 1 = 10 - 1 = 9

                              3 divise 9

                                     Donc  3 divise  10n - 1 quand n = 1.

                                  • Soit n quelconque dans IN - { 0 }.    ( Caractère héréditaire )

                               Montrons que : (  3 divise 10n - 1 )  => ( 3 divise 10n +1 - 1   )

                               Considérons que 3 divise   10n - 1.

                                On sait en plus que 3 divise   9× 10n 

                                        Donc 3 divise la somme    9× 10n  +  10n - 1.

                                Or  9× 10n  +  10n - 1 = 10n +1 - 1 , d'après la question1.

                                 D'où  3 divise 10n +1 - 1  .

                                        Conclusion:   3 divise   10n - 1  pour tout n dans IN -{ 0 }.

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   ( Pour l'exercice 4 voir l'INFO 2 DS n°1 BTS1A   23/10/09 )