INFO DS n° 1 BTS1B 20/10/09

     INFO     DS n° 1        BTS1B              20 / 10 /09 

      EXERCICE 1.             2 POINTS

          ( Extrait du QCM : Session 2007 ) 

               QCM

        1.  Soit f une fonction de la variable x, définie dans IR.

             On considère l'énoncé suivant:  " Il existe au moins un réel x tel que  f( x ) > 0 ".

             La négation de cette proposition est:

              A:     " Il existe au moins un réel x tel que  f( x ) < 0 ".

              B:     " Il existe au moins un réel x tel que f( x ) ≤ 0 ".

              C:    " Pour tout réel x , f( x ) < 0 ".

              D:   " Pour tout réel x , f( x ) ≤ 0 ".

         2.  On considère E , fonction des variables booléennes a , b et  c dont  une expression est:

                      

               E est représenté par le tableau de Karnaugh ci-contre.

a   \   bc           00         01           11             10
0          1
1          1          1

               Une autre expression de E est : 

                     •

                     •

                     •

                     •

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        Réponse:              1. La bonne réponse est :       D  

                                     2. La bonne réponse est :       B   

                                           Explication non demandée:

a   \   bc           00         01           11             10
0       1  
1        1  
       1  

                            a . c      +  

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

            EXERCICE 2     3 POINTS

                   1. Résoudre dans IR :

                         2 x + 1 > 0  =>   1 - x ≥ 0

                   2. x et y désignent des réels.

                       Traduire ( x , y ) ≠  ( - 3 ; 2 )

                   3. Soient deux propositions p , q .

                      Comparer les propositions:

                                            

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       Réponse :          1.Résolution de   2 x + 1 > 0  =>   1 - x ≥ 0

                                        c-à-d       Non ( 2 x + 1 > 0  )  ou    1 - x ≥ 0

                                        c-à-d             2 x + 1 ≤  0  ou   1 - x ≥ 0

                                        c-à-d              x  ≤  - 1 / 2  ou   1  ≥ x 

                                        c-à-d              x ≤  1

                           Conclusion:          S = ] -  ∞ , 1 ]     

                                  2. Traduisons    ( x , y ) ≠  ( - 3 ; 2 )

                                     c'est-à-dire    x    ≠   - 3    ou    y    ≠   2  

                                  3. Comparaisons des trois propositions: 

                                                                      

                                       Méthode 1 .

                                La distributivité de " et " par rapport à   " ou " fait que l'on a :

                                                     équivalent à 

                                           c-à-d     à   

                                       Conclusion:        est équivalente à   

                                      Méthode 2.  Par tableau de vérité.

p q Non( p) Non( p ) ou q p et ( Non( p ) ou q ) p et q 
0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 1

                                        Conclusion:        est équivalente à   

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          EXERCICE 3                 5 POINTS

                1. Les affirmations suivantes sont-elles des propositions?

                  a.  " Tous les étudiants du lycée possèdent une calculatrice"

                  b. " La géométrie est plus difficile que l'algèbre.

                  c. " Les mathématiques sont utiles".

                2. Etablir par récurrence que : 2n  ≥ 1   pour tout n dans IN.

                3. A-t-on  n ( n + 1 ) ( n + 2 ) divisible par 5 pour tout n dans IN ?

                4. Donner la négation de la proposition p suivante:

                       

                  Laquelle de p ou de Non ( p )  est vraie?

               5. Donner la négation de l'implication :

                              5 x + 2 < 0  =>  x - 1 > 0     où  x est dans IR.

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 Réponse:       1.  a.  " Tous les étudiants du lycée possèdent une calculatrice"

                                  OUI. C'est une affirmation que l'on peut vérifier.                                 

                             b. " La géométrie est plus difficile que l'algèbre.

                                   NON. C'est du domaine le l'appréciation personnelle.

                                   c. " Les mathématiques sont utiles".

                                  " Utiles " n'est pas défini.

                                  C'est du domaine le l'appréciation personnelle.

                                   NON . Ce n'est pas une proposition

                           2. Récurrence sur IN.

                                     • n = 0    ( Amorce )

                                                  Montrons que l'inégalité est vraie pour n = 0.

                                                    On a :    2n  = 20   = 1 

                                                     Ainsi          20  ≥ 1

                                           On a bien   2n  ≥ 1   quand n = 0.

                                       • n  dans IN quelconque.

                                          Montrons que:    2n  ≥ 1  =>  2n+1  ≥ 1      

                                        ( Caractère héréditaire )

                                           Soit     2n  ≥ 1   alors   2n  × 2   ≥  1 × 2

                                                               Donc       2n+1  ≥  2  ≥ 1

                                                               Ainsi       2n+1  ≥   1

                                          L'implication est avérée.

                                        Conclusion : L'inégalité est vraie sur IN.

                            3.  A-t-on n(n + 1 ) ( n + 2 )  divisible par 5 pour tout  n dans IN?

                                       Non : contre exemple: 

                                         Soit   n = 1 .

                                         Alors:       n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 6

                                          Or     6  n'est pas divisible par 5.

                           4. La proposition p : 

                              

                                a pour négation la proposition  Non ( p ) suivante:

                                       

                                       Non ( p ) est une proposition vraie.

                                     En effet :  Il suffit de considérer

                                     x = 2 n    puisque l'inégalité est large.

                                 5. Donnons la négation de l'implication :

                                     5 x + 2 < 0  =>  x - 1 > 0     où  x est dans IR.

                              Donnons la négation de :

                                  Non ( 5 x + 2 < 0 ) ou x - 1 > 0    

                              La négation est :     5 x + 2 < 0   et  x - 1 ≤ 0   

                                         c-à-d                  x < - 2 / 5   et   x  ≤ 1

                                              Conclusion:     x < - 2 / 5  

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            EXERCICE 4                  4 POINTS

                 On considère l'expression booléenne de variables a , b , c suivante:

                                            

                          1. Représenter F à l'aide d'un tableau de Karnaugh.

                           2. En déduire une forme simplifiée de F.

                           3. Etablir par le calcul que:

                                                  

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   Réponse:

               1. Tableau de Karnaugh de :

                                            

a   \   bc           00         01           11             10
0        1          1          1   
1        1          1          1    

               2. Déduisons une forme simplifiée de F.      

a   \   bc           00         01           11             10
0        1             1       1         
1        1             1        1   
   

                   F  =    c     + 

   Conclusion:   Il apparaît que:      .

                     3. Par le calcul:

                 On a :  

                        

                     c-à-d  

                                    

                   Conclusion:   Il  On a bien le même résultat.

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             EXERCICE 5                    6 POINTS

                      Le service clientèle, dans un grand magasin, a organisé le repérage des clients qui

                      entrent dans le magasin.

                     • Si le client achète un article alors il est considéré de la catégorie A: On écrit a = 1

                              ( sinon a  = 0 )

                     • Si le client demande un échange ou rend un article alors il est considéré de la catégorie R:

                        On écrit r = 1 .   ( sinon r = 0 )

                      • Si le client demande des renseignements sur des articles alors il est considéré de la catégorie P:

                        On écrit p = 1 . ( sinon p = 0 )

                     1. Soit l'expression booléenne :

                                     

                          a. Que peut-on dire d'un client correspondant à E?

                          b. Faire le tableau de Karnaugh  de E.

                          c. A l'aide de ce tableau trouver une forme simplifiée de E.

                          d. Par le calcul retrouver la forme simplifiée.

                       2. Quel type de client correspond à ?

                           Est-ce un client , peu intéressant , assez intéressant , très intéressant pour le magasin?

                           Donner l'écriture la plus simple de  .

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     Réponse:

                      1. a. On peut dire que le client achète et  n' échange pas d'article.

                       b. Tableau de Karnaugh pour :

                                                                      

a   \  p r           00         01           11             10
0                         
1        1                         1

                      c.     On a d'après le tableau de Karnaugh

                              .

                      d. Par le calcul:

                           On a :      

                           c-à-d 

                                            

                     2. On a    

             qui représente un client n'achète pas ou qui échange un article 

                             Un tel client n'est pas intéressant.

                  Par le calcul retrouvons le résultat:

                                     

                       Donc

                          

 

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