INFO DV n° 1 12 Oct. 09
EXERCICE 1
Les affirmations suivantes sont-elles des propositions?
" 2 < 5 "
" 1000 est un grand nombre "
" 500 est un entier pair "
" La fonction f: x →x² est plus simple que la fonction
g : x → | x | "
" La fonction g : x → | x | est paire "
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Réponse: • " 2 < 5 " est une proposition.
On peut dire que cette affirmation est vraie.
• " 1000 est un grand nombre " n'est pas une proposition
car on ne sait pas si cet énoncé est vrai ou faux.
• " 500 est un entier pair " est un énoncé vrai. C'est une proposition.
• " La fonction f: x →x² est plus simple que la fonction
g : x → | x | " n'est pas une proposition car on sait pas si c'est vrai ou faux. • " La fonction g : x → | x | est paire " est une affirmation vraie sur IN. C'est bien une proposition. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 EX.
• ( n - 1 ) ( n + 2 ) ≥ 0 , où n est dans IN
est-elle une propriété ( ou prédicat ) ?
• Dans l'affirmative, est-elle vraie pour tout n dans IN ?
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3 EX.
Soit la propriété: n ( n +1 ) ( n + 2 ) est divisible par 6 , où n est dans IN
Le but de l'exercice est de voir cette
propriété est vraie sur IN.
1. Question.
• n ( n +1 ) est-il toujours divisible par 2 pour tout n dans IN ?
• Soit n un entier naturel .
Quand on divise n par 3 , il y a trois possibilités:
•• n est divisible par 3. ( n est de la forme 3 k avec k dans IN )
•• 1 est le reste de la division de n par 3 . ( n est de la forme 3 k + 1 avec k dans IN )
•• 2 est le reste de la division de n par 3 . ( n est de la forme 3 k + 2 avec k dans IN )
Dans chacun de ces trois cas la propriété est-elle vraie ? ( DISJONCTION DE CAS )
2 . Question.
On rappelle que 2 et 3 sont premiers entre eux.
La propriété est-elle vraie pour tout entier naturel n ?
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4 EX.
• Soit x et y dans IR .
Traduire ( x , y ) ≠ ( 1 ; 3 ).
• Soit x dans IR .
Traduire | x - 1 | < 2 à l'aide de connecteurs adaptés.
( On pourra représenter les réels solutions. )
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5 EX .
La proposition ( 2 > 5 ) => ( 1000 est pair )
est-elle vraie ?
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6 EX .
Soit n dans IN.
n pair => n3 pair ,
est-elle une propriété vraie dans IN ?
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7 EX .
La proposition ( 2 < 5 ) ou ( 8 ≤ - 1 ) est-elle vraie ?
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