LISTE D'EX ALGEBRE DE BOOLE BTS1 DEC. 08
EX. 1 Soit les variables booléennes a , b ,c .
Soit A l'expression booléenne dont le tableau de Karnaugh est :
a\b c
0 0
0 1
1 1
10
0
1
1
1
1
1
1
1
Donner l'expression de A.
REP. Explications
En bleu c'est : a
a\b c
0 0
0 1
1 1
10
0
1
1
1
1
1
1
1
a\b c
0 0
0 1
1 1
10
0
1
1
1
1
1
1
1
En rouge c'est : c c représente c barre
Conclusion: A = a + c
( On entoure à la main dans le tableau les 1 représentent a et on entoure les 1 qui représentent c )
EX. 2 Soit les variables booléennes a , b ,c .
1. Soit A = a . b + a. b + b. Simplifier A.
Ona: A = ( a + a ) .b + b Factoristation de b b est b barre
c-à-d A = 1 . b + b = b + b a + a = 1
Donc A = 1 b + b = 1
2. Soit B = a .b + a.b.c + a. b . Simplifier B.
Ona: B = a. ( b + b. c + b ) Factoristation de a
c-à-d B = a. ( b + b ) b + b. c = b
c-à-d B = a . 1 b + b = 1
Donc B = a
3. Soit C = a . b .c + a . b .c + a . b + a .b .c . Simplifier C.
Ona: C = b . ( a . c + a . c + a + a . c ) Factoristation de b
c-à-d C = b . ( a . c + a + a.( c + c ) ) Factoristation partielle de a
c-à-d C = b . ( a + a. ( c + c ) ) a . c + a = a
c-à-d C = b . ( a + a. 1 ) = b . ( a + a ) c + c = 1 a + a = 1
c-à-d C = b . 1
Donc C = b c'est-à-dire b barre
4. Soit D = ( a + b ) .( b + c ) .( c +a ) . Simplifier D.
On a : D = ( a + b ) .( b + c ) .( c +a ) Avec les deux premiers facteurs
c-à-d D = ( a . b + a . c + b. b + b.c ).( c +a ) b. b = 0
c-à-d D = ( a . b + a . c + b.c ).( c +a )
c-à-d D = ( a . b + a . c + b.c ) . c + ( a . b + a . c + b.c ) . a
c-à-d D = a . b . c + a . c . c + b.c . c + a . b .a + a . c .a + b.c .a
c-à-d D = a . b . c + a . 0 + b.0 + a . b + a . c + b.c .a c . c = 0 a. a = a
c-à-d D = a . b . c + a . b + a . c + b.c .a a . b . c + a . b = a . b
c-à-d D = a . b + a . c a . c + b.c .a = a.c
REP. A = 1 B = a C = b D = a b + a c
EX. 3 1. Donner l'expression de A dont le tableau de Karnaugh est :
| a\b c | 0 0 | 0 1 | 1 1 | 10 |
| 0 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
A est une somme de cinq minterms
A = a . b . c + a . b . c + a . b . c + a. b. c + a. b. c
2. Simplifier l'expression de A à l'aide du tabeau.
A = b .c + a . b + a. b
Il y a d'autre écritures simplifiées.
A = a . b . c + a . b + a. b
ou encore
A = a . b . c + a. c + a . b
3. Trouver par le calcul que : A = a b + a c + a b .
A = a . b . c + a . b . c + a . b . c + a. b. c + a. b. c
A = a . b . ( c + c ) + a . b . c + a. b.( c + c ) + a. b. c Factorisation
A = a . b . 1 + a . b . c + a. b. 1 + a. b. c On remet a. b. c
A = a . b + a . b . c + a. b + a. b. c
A = a . b + a. b + a . b . c + a. b. c
A = a . b + a. b + a . c ( b + b )
A = a . b + a. b + a . c
REP. A =a b c + a c + a b .
EX. 4 Simplifier par le calcul A = ( a + b + c ) .( a + b ) .( a + c )
REP. A = a . b + a .c + a . b .c
EX. 5 Donner le tableau de Karnaugh de B = a.b + a . b
REP.
a \ b
0
1
0
1
1
1
EX . 6 Donner le tableau de Karnaugh de H = a.b.c + a .b .c + a .b. c .
comparer H avec F =( a + b ) c .
REP Pour H
| a\b c | 0 0 | 0 1 | 1 1 | 10 |
| 0 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 |
F = a. c + b .c = H
EX.7 Soit A de tableau de Karnaugh:
| a\b c | 0 0 | 0 1 | 1 1 | 10 |
| 0 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Donner l'expression de A.
REP. A = c + a .b .c
EX.8 Soit B de tableau de Karnaugh:
| a\b c | 0 0 | 0 1 | 1 1 | 10 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Donner l'expression de B.
REP. B = c + b
EX. 9 Soit E = a . b .c + a .c + a. b .c + a . b
Donner son tableau de Karnaugh.
Comparer E et B = c + b
REP . Voitr le tableau de l'ex. 8