INFO Sujet n°1 EXAMEN BTS SIO 1 MAI 2012
Le sujet porte sur les suite récurrentes.
On connaît deux choses.
• Le premier terme de la suite .
• la relation de récurrence liant deux termes immédiatement consécutifs.
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Vous disposez de 30minutes sur papier et 30 minutes sur ordinateur pour réaliser ce travail.
Tout résultat doit être justifié.
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Premier travail
Soit la suite récurrente ( u n ) définie dans IN par:
u0 = 1
un+1 = 2 un + 3 pour tout n dans IN
1. Quelle fonction f permet d'obtenir un+1 à partir de un ?
2. Ecrire un algorithme, en Python, qui retourne la valeur de un
quand on rentre l'entier n.
3. Donner les valeurs approchées de u6 , u7 .
4. La suite est-elle arithmétique, géométrique , quelconque?
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Réponse:
1. Soit f : x →2 x + 3
On a : un+1 = 2 un + 3 pour tout n dans IN.
c-à-d un+1 = f( un ) pour tout n dans IN.
Conclusion : La fonction est f : x →2 x + 3
2. Le programme possible est très simple.
def su(n):
if n==0:
return 1
else:
return 2*su(n-1)+3
# PROGRAMME #
############
n=int(input("Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = "))
print "u",n,"=",su(n)
input("Appuyer sur Entrée pour arrêter")
On obtient par exemple:
>>>
Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 6
u 6 = 253
Appuyer sur Entrée pour arrêter
On obtient par exemple:
>>>
Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 7
u 7 = 509
Appuyer sur Entrée pour arrêter
3. Calcul de u6 et u7 .
Il suffit de faire tourner le programme pour n =6 puis n = 7
u6 = 253
u7 ≈ 509
4. Nature de la suite ( un ).
On a : un+1 = 2 un + 3 pour tout n dans IN
•Elle n'est pas arithmétique.
En effet:
En transposant un on a:
un+1 - un = un + 3 pour tout n dans IN
Comme la suite ( un ) n'est pas constante ( par exemple u6 ≠ u7 )
alors un + 3 n'est pas une constante mais dépend de n dans IN.
Donc un+1 - un n'est pas une constante mais dépend de n dans IN.
•Elle n'est pas géométrique.
En effet :
u0 =1
u1 = 2 × 1 + 3 = 5
u2 = 2 × 5 + 3 = 13
Comme 5 / 1 ≠ 13 / 5 on a : u1 / u0 ≠ u2 / u1
Conclusion : la suite récurrente ( un ) est quelconque.
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Second travail
Soit la suite récurrente ( u n ) définie dans IN par:
u0 = − 1
un+1 = − un + 5 pour tout n dans IN
1. Quelle fonction f permet d'obtenir un+1 à partir de un ?
2. Ecrire un algorithme, en Python, qui retourne la valeur de un
quand on rentre l'entier n.
3. Donner les valeurs approchées de u6 , u7 .
4. La suite est-elle arithmétique, géométrique , quelconque?
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Réponse:
1. Soit f : x →- x + 5
On a : un+1 = - un + 5 pour tout n dans IN.
c-à-d un+1 = f( un ) pour tout n dans IN.
Conclusion : La fonction est f : x → - x + 5
2. Le programme possible est très simple.
def su(n):
if n==0:
return -1
else:
return -su(n-1)+5
# PROGRAMME #
############
n=int(input("Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = "))
print "u",n,"=",su(n)
input("Appuyer sur Entrée pour arrêter")
On obtient par exemple:
>>>
Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 6
u 6 = - 1
Appuyer sur Entrée pour arrêter
On obtient par exemple:
>>>
Donner l'indice n du terme de la suite considéré : n = 7
u 7 = 6
Appuyer sur Entrée pour arrêter
3. Calcul de u6 et u7 .
Il suffit de faire tourner le programme pour n =6 puis n = 7
u6 = - 1
u7 ≈ 6
En fait la suite prend alternativement pour les valeurs - 1 et 6.
4. Nature se la suite ( un ).
On a: u0 =- 1
u1 = - ( - 1 ) + 5 =6
u2 =- 6 + 5 = -1
Ainsi: u1 - u0 = 7 et u2 - u1 =-7
u1 - u0 ≠ u2 - u1
Elle n'est pas arithmétique
De plus: u1 / u0 = 6 / -1 et u2 / u1 = -1 / 6
u1 / u0 ≠ u2 / u1
Elle n'est pas géométrique
Conclusion : la suite récurrente ( un ) est quelconque.
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EXERCICE:
Donner un programme qui permet d'avoir le terme d'indice n saisi d'une suite
récurrente et la somme des 10 premiers termes.
REPONSE:
On peut donner:
def su(n):
if n==0 :
return 1
else:
return 2*su(n-1)+3
# PROGRAMME PRINCIPAL#
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n=int(input("Saisir un nombre de valeurs : n = "))
S=0
for i in range(10):
S=S+su(i)
print su(n)
print "la somme est" ,S
On obtient par exemple:
>>>
Saisir un nombre de valeurs : n = 5
125
la somme est 4062
>>>
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