SPE TES

def suite_u():
print("sin(0) = 0")
k = 1./3
for i in range(1000):
b=abs(math.sin(i)-1./3)
if b<k:
k=b
print "sin(",i,")= ",math.sin(i)

On obtient :

>>> suite_u()
sin(0) = 0
sin( 3 )= 0.14112000806
sin( 9 )= 0.412118485242
sin( 28 )= 0.270905788308
sin( 38 )= 0.296368578709
sin( 82 )= 0.313228782433
sin( 126 )= 0.329990825674
sin( 836 )= 0.330047736657
>>>

Les premiers termes de la sous suite (u) sont donc:

sin(0) ; sin(3) ; sin( 9) ; sin(28 ) ; sin( 38 ) ; sin(82) ; sin(126) ; sin(836) ; ...etc

Elle converge vers 1 / 3.

Il suffit de remplacer 1000 par 10000 pour en avoir davantages

• Pour avoir unesous suite autre qui converge vers 1/4

from random import*
import cmath
import math

def suite_v():
print("sin(0) = 0")
k = 1./4
for i in range(1000):
b=abs(math.sin(i)-1./4)
if b<k:
k=b
print "sin(",i,")= ",math.sin(i)

On obtient :

>>> suite_v()
sin(0) = 0
sin( 3 )= 0.14112000806
sin( 19 )= 0.149877209663
sin( 28 )= 0.270905788308
sin( 72 )= 0.253823362762
sin( 782 )= 0.253765048014
>>>

Les premiers termes de la sous suite (v) convergente sont donc:

sin(0) ; sin(3) ; sin( 19) ; sin(28 ) ; sin( 72 ) ; sin(782) ; ...etc

Elle converge vers 1 / 4

Il suffit de remplacer 1000 par 10000 pour en avoir davantages

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Pour aller plus loin:

Théorème (Bolzano-Weierstrass)

De toute suite bornée de nombres réels (u_n) définie sur IN

on peut extraire une sous-suite convergente.

Explication

On utilise le principe de dichotomie.

Si [a₀; b₀] est un intervalle réel qui contient tous les éléments de

la suite (u_n) où n est dans IN , on le coupe en deux parties égales

et on garde une de ces parties qui contient des u_n pour une inﬁnité

d’indices n.

En réitérant ce procédé on construit deux suites adjacentes (a_n)

et (b_n) définies dans IN , et aussi une application

φ strictement croissante de N dans N telles que chaque intervalle

[a_n; b_n] contient un terme u_φ(n).

La suite ( u_φ(n) ) sur IN est alors convergente.

Elle converge vers la limite commune des deux suites adjacentes

(a_n) et (b_n) .

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Dans le cas particulier de la suite ( sin(n)) vous pouvez créer les deux suites

adjacentes mais ici de rationnels.

Il reste à déterminer dans chacun des intervalles le terme de la suite que l'on considère

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EXERCICE :

Etablir que la suite ( sin(n)) définie sur IN n'admet pas de limite en +∞.

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REPONSE: Pour montrer que la suite ( sin(n)) n'admet pas de limite:

Il suffit de montrer qu'elle n'admet pas de limite infinie ni de limite finie.

• Comme - 1 ≤ sin( n ) ≤ 1 pour tout n dans IN

on ne peut pas avoir sin(n) qui tend vers + ∞ ou - ∞.

La suite ( sin(n)) n'admet pas de limite infinie.

• Montrons par l'absurde que la suite (sin(n)) ne peut pas

non plus admettre une limite finie.

Supposons qu'il existe un réel L tel que lim sin(n) = L

n → + ∞

On va établir la contradiction en deux temps:

Cela entraîne L = 0 c-à-d lim sin(n) = 0

n → + ∞

et lim cos(n) = 0

n → + ∞

Ce qui est incompatible avec la formule sin² ( n ) + cos²( n) = 1

•• On connaît la formule trigo.

Sin a + sin b = 2 sin(( a + b / 2 ) × cos (( a - b / 2 )

Ici avec a = n + 1 et b = n - 1 il vient:

sin( n + 1 ) + sin ( n - 1 ) = 2 sin (n ) cos( 1 )

En passant à la limite on obtient :

L + L = 2 L cos( 1)

c-à-d

2 L - 2 L cos(1) = 0

c-à-d

L ( 1 - cos(1) ) = 0

c-à-d ( comme cos( 1 ) ≠ 0 )

L = 0

•• On connaît la formule trigo.

sin( a + b ) = sin( a ) cos( b ) + sin( b ) cos ( a )

Donc avec a = n et b = 1 il vient:

sin( n + 1 ) = sin( n ) cos ( 1 ) + sin( 1 ) cos ( n )

c-à-d

sin( 1 ) cos( n ) = sin( n+1 ) - sin(n) cos( 1 )

c-à-d ( comme sin( 1 ) ≠ 0 )

cos( n ) = [ sin( n+1 ) - sin(n) cos( 1 ) ] / sin( 1 )

En passant à la limite on obtient:

lim cos( n ) = ( 0 - 0 ) / sin( 1 ) = 0

n → + ∞

c-à-d lim cos( n ) = 0

n → + ∞

•• On connaît la formule trigo: sin² ( n ) + cos²( n) = 1

Si lim cos( n ) = 0 et lim sin( n ) = 0

n → + ∞ n → + ∞

alors en passant à la limite on obtient :

0 = 1

Contradiction:

Ainsi la suite ( sin(n)) n'admet pas de limite finie non plus .

Conclusion: La seule possibilité restante est que la suite ( sin( n) )

n'admette pas de limite.

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