I. ANGLE , ARC ORIENTE OU NON

   LECON :   I.  ANGLES ,ARCS , ORIENTES OU NON .      1S   Janvier 09

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     1. Rappel.                π   radians  =   180°           

θ en radians 0 π /6 π / 4 π / 3 π / 2
θ en degrés 0° 30° 45° 60° 90°
cos θ 1 √3  / 2 √2  / 2 1 / 2 0
sin θ 0 1 / 2 √2  / 2 √3  / 2 1

     2. Arc géométrique: 

          Partie de cercle comprise entre deux point du cercle.

                                                                

     3. Longueur d'un arc géométrique. 

         Soit  Arc( AB ) un arc géométrique sur un cercle de rayon R.

         Soit  α la mesure en radians de l'angle au centre qui intercepte Arc( AB ). 

                                                                                   

         La longueur de Arc( AB ) est    R α   en unité de longueur.

     4.  Aire d'un secteur géométrique. 

           L'aire du secteur d'angle au centre  θ radians pour un cercle de rayon R

            est :    ( 1 /2 ) R² α    en unités d'aire. 

          Cas particulier:   α = 2 π     Alors    l'aire du secteur est l'aire du cercle π R² .

     5. Notation Modulo [ 2 π ]   .

           Cette notation est très pratique mais non obligatoire dans le programme de

           première. ( Elle est au programme de la spé.math. en TS )

          Soit deux réels a et b .

          Les affirmations suivantes sont équivalentes

           •   a  est égale à   b à un multiple de 2 π  près.     

           •    a = b modulo 2 π  

           •    a = b [ 2 π ]    

           •     a - b = 0   [ 2 π ]    

           •  Il existe un entier relatif k tel que a = b + 2 k π

           •  a - b est dans l'ensemble   2 π Ζ.

      6. Exemple.

           Soit a = ( 7 π  ) / 3    et   b = π / 3

          On a :    ( 7 π  ) / 3  =  π / 3   +   2 π

        On peut donc écrire :    a  = b [ 2 π ]  

       7.  Notation Modulo [  π ]  .

           Soit deux réels a et b .

          Les affirmations suivantes sont équivalentes :

           •   a  est égale à   b à un multiple de  π  près.     

           •    a = b modulo  π  

           •    a = b [  π ]    

           •     a - b = 0   [ π ]    

           •  Il existe un entier relatif k tel que a = b +  k π

        8. Exemple.

               Soit   a = ( 4 π  ) / 3         et     b =  π  / 3 . 

                On a :    ( 4 π  ) / 3  =  π / 3   +    π

               On peut donc écrire :    a  = b [ π ]  

          9.  Mesure d'un arc géométrique. 

               • La mesure d'un arc géométrique sur un cercle est la mesure

                 de l'angle au centre qui intercepte l'arc. 

               • Soit A et B deux points distincts d'un cercle C de rayon R.

                Si  θ  est une mesure en radians de l'un des deux arcs d'extrémités

                A et B , alors  l'autre est de mesure  2 π  - θ   radians. 

          10.Cercle trigonométrique.

               Soit le repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j )  ) direct du plan.

               Le cercle de centre O et de rayon 1 , orienté dans le sens contraire

               à celui des aiguilles d'une montre est le cercle trigonométrique.

          11. ABSCISSE CURVILIGNE d'un point du cercle TRIGO.

               Soit les point I ( 1 ; 0 ) et J ( 0 ; 1 )

               Soit C  le cercle trigonométrique.

               On considère l'axe graduée souple  ( I , vect( j ) ). 

              •  Quand on enroule l'axe "souple " ( I , vect( j ) )   sur le cercle

                 trigonométrique le réel a  de cet axe vient se placer en un point M

                du cercle trigo.

                Pour ce point M ,  a est une abscisse curviligne .

                où k est un entier relatif en sera une aussi .           

                {  a + 2 k π   / k soit dans l'ens. des entiers relatifs }  est l'ensemble

                des abscisses curviligne de M.

             • Si b est une autre abscisse curviligne de M alors a - b = 0 [ π ]  .

             •  Parmi les abscisses curbiligne il en existe une particulière qui

                 est dans l'intervalle ] - π  ,   π] .

          12. ARC ORIENTE.

               Soit ( C )n cercle . Soit  A et B deux points distincts de ( C ).

               L'arc orienté Arc( A , B ) est associé au couple ( A , B ). A est son origine .

               B est son extrémité.

               Il est représenté par l'une au choix des deux flèches courbes d'origine A

              et d'extrémité B sur le cercle ( C ).

           13. MESURE D'UN ARC ORIENTE sur le cercle trigo.

                          Soit A et B deux points du cercle trigo.

                          Soit a une abscisse curviligne de A.

                          Soit b une abscisse curviligne de B.

                       On a :  mes( Arc( A,B) ) = b - a  [ 2 π  ]     en radians

             14. RELATION  de CHASLES 

                    pour les mesures des ARC ORIENTES.

                           Soit A, B , Ctrois points du cercle trigo.

                           Soit a une abscisse curviligne de A.

                           Soit b une abscisse curviligne de B.

                           Soit c une abscisse curviligne de C.

                           On a : 

        mes( Arc( A,B) ) = mes( Arc( A,C ) ) + mes( Arc( C,B ) )   [ 2 π  ]   en radians

              16. ANGLE ORIENTE.

                      Soit  deux vecteurs non nuls    vect( u ) ,  vect(  v ).

                     Le couple (   vect( u ) , vect( v )  )  est un angle orienté.

       Il est représenté par une flèche courbe partant de vect( u ) et arrivant à vect ( v )

                     dans le sens positif ou négatif.

               17. MESURE D'UN ANGLE ORIENTE.

                      Soit  deux vecteurs non nuls   vect( u ) ,  vect(  v ).

                      Soit sur le cercle trigo. les point A et B tels que :

                      vect( O,A ) = ( 1 /  ||  vect( u ) ||  )  vect( u )

                      vect( O,B ) = ( 1 /  ||  vect( v ) ||   vect( v )

                          Soit a une abscisse curviligne de A.

                          Soit b une abscisse curviligne de B.

                     On a : mes ( vect( u ) ,vect(v ) ) = b - a  [ 2 π  ]     en radians.

                     On a donc :  

                      mes ( vect( u ) ,vect(v ) ) = mes ( Arc( A , B) )  [ 2 π  ]   

                     en radians.

                    Parmi les mesures en radians figure la mesure principale

                    comprise dans  ] - π , π].

             18. PROPRIETE.

                 Soit trois vecteurs vect( u )  , vect( v ) , vect( w ) non nuls

            •   Ona : La relation de Chasles:

         ( vect ( u ) , vect( v ) ) = ( vect ( u ) , vect( w ) ) + ( vect ( w ) , vect( v ) ) [ 2 π  ]     

            • On a :  ( vect ( u ) , - vect( v ) ) = ± π + ( vect ( u ) , vect( v ) )  [ 2 π  ]     

            • On a :  ( - vect ( u ) , vect( v ) ) = ± π + ( vect ( u ) , vect( v ) )  [ 2 π  ]     

            • On a :  ( vect ( u ) , - vect( u ) ) = ± π   [ 2 π  ]  

             • On a :  ( - vect ( u ) , - vect( v ) ) = ( vect ( u ) , vect( v ) )   [ 2 π  ]  

             • On a :   ( vect ( u ) , vect( v ) ) = - ( vect ( v ) , vect( u ) )   [ 2 π  ]  

             • On a :   (k vect ( u ) , k  vect( v ) ) =   ( vect ( u ) , vect( v ) )   [ 2 π  ]  

              avec k réel non nul

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