Devoir surveillé n ° 7 55 mn Samedi 14 mars 2009 1S1
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EXERCICE 1
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Soit la fonction f : x→ ( - 2 x² + 5 x + 4 ) / ( 2 x + 1 ) sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .
( La courbe ( C ) de la fonction f n'est pas demandée. )
1. Trouver les limites de f en + ∞ et en - 1 / 2 à droite.
• La fonction rationnelle f a - 2 x comme quotient simplifié de ses termes de plus haut degré.
lim - 2x = - ∞
x → + ∞
Donc
Conclusion: lim f( x ) = - ∞
x → + ∞
• En - 1/ 2 à droite on a :
lim ( - 2 x² + 5 x + 4 ) = - ( - 1 / 2 ) ² - 5 / 2 + 4 = - 1 / 2 - 5 / 2 + 4 = 1
x → - 1 / 2
et lim ( 2 x + 1 ) = 0+
x → - 1 / 2
Ainsi lim ( - 2 x² + 5 x + 4 ) / ( 2 x + 1 ) = 1 / 0+ = + ∞
x → - 1 / 2
Conclusion : lim f ( x) = + ∞
x → - 1 / 2
La courbe ( C ) admet-elle une asymptote verticale ?
OUI .
Comme lim f ( x) = + ∞
x → - 1 / 2
la droite d' équation x = - 1 / 2 est une asymptote
verticale pour ( C ).
2. Trouver les réels a , b, c tels que :
f( x ) =a x + b + c / ( 2 x + 1 ) pour tout x dans l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .
Utilisons la division.
| - 2 x² + 5 x + 4 | | 2 x + 1 |
| - ( - 2 x² - x ) | | - x + 3 |
| 6 x + 4 | | |
| - ( 6 x + 3 ) | | |
| 1 | |
Ainsi : - 2 x² + 5 x + 4 = ( 2 x + 1 ) ( - x + 3 ) + 1
Donc pour tout x > - 1 / 2 on a:
( - 2 x² + 5 x + 4 ) / ( 2 x + 1 ) = - x + 3 + 1 / ( 2 x + 1 )
Conclusion : a = - 1 b = 3 c = 1
3. Montrer que la droite D : y = - x + 3 est une asymptote à la courbe ( C ) en + ∞.
On a f( x ) =- ( - x + 3 ) = 1 / ( 2 x + 1 ) pour tout x > - 1 / 2 .
et lim 1 / ( 2 x + 1 ) = 0
x → + ∞
Donc :
Conclusion : La droite D: y = - x + 3 est bien une asymptote oblique à ( C ) en + ∞.
4. a . Montrer que sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ la fonction dérivée de f est
f ' : x → - 1 - 2 / ( 2 x + 1 )²
Soit les fonctions u : x→ - x + 3 et v : x → 2 x + 1
On a : f = u + 1 / v sur l'intervalle ] - 1 / 2 , + ∞ [
Comme u et v sont définies et dérivables dans l'intervalle ] - 1 / 2 , + ∞ [
et que v y est non nulle , la fonction u + 1 / v c'est-à-dire f est définie et dérivable
dans l'intervalle ] - 1 / 2 , + ∞ [.
de plus on a : f ' = u' - v ' / v²
v ' : x → 2
Soit x > - 1 / 2 on a : f' ( x ) = - 1 - 2 / ( 2 x + 1 )²
Conclusion: On a bien la fonction dérivée de f qui est
f ' : x → - 1 - 2 / ( 2 x + 1 )²
b. Donner le signe de f ' .
Pour tout x > - 1 / 2
f ' ( x ) étant la somme de deux réels strictement négatifs on a
f ' < 0 sur ] - 1 / 2 , + ∞ [
Conclusion : f ' < 0 sur ] - 1 / 2 , + ∞ [
5. a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .
f est strictement décroissante sur l'intervalle ] - 1 / 2 , + ∞ [ .
b. Préciser son tableau de variations.
| x | - 1 / 2 + ∞ |
| f ' ( x ) | || - |
| f ( x )- | || ↓ |
c. La courbe ( C ) de la fonction f admet -elle ,en un point, une tangente horizontale?
NON car f ' ne s'annule jamais sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .
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EXERCICE 2
1. Résoudre dans IR l'équation: cos x = 1 / 2.
• On sait que : cos π/ 3 = 1 / 2
Donc cos x = 1 / 2 s'écrit cos x = cos π/ 3
c-à-d x = π/ 3 [ 2 π ] ou x = - π/ 3 [ 2 π ]
Conclusion : S = { π/ 3 + 2 k π / k dans les entiers relatif } U { - π/ 3 + 2 k π / k dans les entiers relatif }
En déduire la résolution de l'équation : cos 2x = 1 / 2.
On d'après ce qui précède cos 2x = 1 / 2 qui se traduit par :
2 x = π/ 3 [ 2 π ] ou 2 x = - π/ 3 [ 2 π ]
c-à-d x = π/ 6 [ π ] ou x = - π/ 6 [ π ]
Conclusion: S = { π/ 6 + k π / k dans les entiers relatif } U { - π/ 6 + k π / k dans les entiers relatif }
2. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
a. Donner les coordonnées cartésiennes du point A de cordonnées polaires [ 2 , 2 π/ 3 ]
avec l'axe polaire ( O ; vect ( i ) ).
On a :
xA = 2 cos ( 2 π/ 3 ) = 2 ( - 1 / 2 ) = - 1
yA = 2 sin ( 2 π/ 3 ) = 2 ( √3 )/ 2 = √3
Conclusion : A ( - 1 ; √3 ) dans le repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
Représenter le point A.
b. Soit le point B de coordonnées cartésiènes ( - 3 ; - 3 ).
Donner des coordonnées polaires du point B , en considérant ( O ; vect( i ) ) comme
repère pôlaire .
On a : r = √( ( - 3 ) ² + ( - 3 ) ² ) = √ 18 = 3 √ 2
cos a = - 3 / ( 3 √ 2 ) = - 1 / √ 2
sin a = - 3 / ( 3 √ 2 ) = - 1 / √ 2
Donc a = - 3 π / 4 convient .
Conclusion : On a : B[ 3 √ 2 , - 3 π/ 4 ]
3. a. Simplifier les écritures suivantes: π - π/ 10 ; π - 2 π / 5 ; π / 2 - π/ 10 .
π - π/ 10 = 9 π/ 10
π - 2 π / 5 = 3 π / 5
π / 2 - π/ 10 = 2 π / 5
b. Calculer l'expression : A = cos ( π/ 10 ) + cos ( 2π/ 5 ) + cos ( 3 π/ 5 )+ cos ( 9 π / 10 )
On a : A = cos ( π/ 10 ) + cos ( π / 2 - π/ 10 ) + cos ( π - 2 π / 5 ) + cos ( π - π/ 10 )
c-à-d A = cos ( π/ 10 ) + sin ( π/ 10 ) - cos ( 2 π / 5 ) - cos ( π/ 10 )
c-à-d A = sin ( π/ 10 ) - cos ( 2 π / 5 ) = sin ( π/ 10 ) - cos ( π / 2 - π/ 10 )
c-à-d A = sin ( π/ 10 ) - sin ( π/ 10 ) = 0
Conclusion : A = 0
4. On a sin a = 3 / 5 et a dans l' intervalle [ 0 , π / 2 ].
Trouver cos a .
On a cos a >= 0 car a est dans l' intervalle [ 0 , π / 2 ].
cos² a = 1 - sin² a
c-à-d cos² a = 1 - ( 3 / 5 ) ² = 16 / 25
Conclusion: cos a = 4 / 5
5. Donner la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure , en radians , est
33 π / 5 .
On a : 33 π / 5 = 30 π / 5 + 3 π / 5
c-à-d 33 π / 5 = 3 × 2 π + 3 π / 5
c-à-d 33 π / 5 = 3 π / 5 [ 2 π]
3 π / 5 est dans l'intervalle ] - π , π ]
Conclusion : 3 π / 5 est la mesure principale de l'angle orienté
dont une mesure est 33 π / 5 .
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