INFO EX1 DS n°6 14 /2/ 09

 INFO   EX 2 DS n° 6        du 14 février 2009

  EXERCICE 1

                  Soit la fonction f: x→ ( x² + x + 2 ) / ( x + 2 )  sur

                  l'intervalle ] - 2 , + ∞ [ .

    1.a. Donnons les limites de f  en - 2 et en + ∞.   

            - 2 et  + ∞  sont des extrémités de l'intervalle de définition.

            On peut faire la recherche.

         •  En - 2 à droite on a  : 

                                                lim ( x² + x + 2 ) = 4             et            lim ( x + 2 ) = 0⁺

                                                x → - 2                                                 x  → - 2 

                       Donc       lim ( ( x² + x + 2 ) / ( x + 2 ) ) =  4 /  0⁺   = + ∞      

                                      x  → - 2

             Conclusion:       lim f( x ) = + ∞

                                      x → - 2  

         •  En     + ∞  on a la fonction rationnelle f qui a le même comportement que 

             le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré qui est x.     

              Or    lim x =   + ∞ 

                       x →   + ∞   

           Conclusion  : lim f( x ) = + ∞         

                              x →  + ∞

             b. Regardons s'il y a une asymptote verticale pour ( C ).

                    OUI , la courbe ( C ) de f admet la droite verticale Δ: x = - 2 comme asymptote

                               car  lim f( x ) = + ∞ .

                                      x → - 2  

          2. a. Trouvons deux réels a et b tels que f( x ) a x + b + 4 / ( x +2 )

                   pour tout réel x dans   ] - 2 , + ∞ [ .

             Utilisons la division:

        Donc      ( x² + x + 2 ) / ( x + 2 ) = x -  1 +  4 / ( x + 2 )  pour tout x dans l'intervalle  ] - 2 , + ∞ [ .

                   conclusion :  a = 1  et  b = - 1

            b. Montrons que la droite D : y = x - 1 est une asymptote à ( C ) en  + ∞.      

               Soit x > - 2 .

                On a :     f( x ) =x - 1 +  4 / ( x + 2 )

              c-à-d         f( x ) - ( x - 1 ) = 4 / ( x + 2 )

              Comme    lim  4 / ( x + 2 ) = 0        on a    lim( f( x )- ( x - 1  ) )= 0

                              x →  + ∞                                   x →  + ∞

             Conclusion:    La droite D : y = x - 1 est une asymptote à ( C ) en  + ∞.

          c. A l'aide du signe du quotient 4 / ( x + 2 ) donnons les positions relatives de ( C )  et ( D ).

                On a :   4 / ( x + 2 ) > 0   pour tout x dans l'intervalle ] - 2 , + ∞ [.

               Donc   ( f( x ) - ( x - 1 ) ) > 0  pour tout x dans l'intervalle ] - 2 , + ∞ [.

           Conclusion : La courbe ( C ) est au dessus de D , sur l'intervalle   ] - 2 , + ∞ [.

       3. a. Montrons que la fonction dérivée de f  est  f ' : x  → ( x ( x+ 4 ) ) / ( x + 2 )² 

               sur l'intervalle  ] - 2 , + ∞ [ .

                   On a :    f ( x ) = x +  2  - 3 + 4 / ( x + 2 ) pour tout x dans   ] - 2 , + ∞ [.

                   Soit les fonctions u : x  →  x +  2        

                   On a:     f = u - 3 + 4 / u   sur   ] - 2 , + ∞ [.

                  Comme la fonction u est définie , dérivable et  non nulle dans l'intervalle ] - 2 , + ∞ [

                   la fonction u - 3 + 4 / u    c'est-à-d  f est définie et dérivable dans  ] - 2 , + ∞[.

                    De plus on a :  f ' = u '  + 4 ( - u ' ) / u²

                  On a:                u ' : x  →  1

                    Soit x dans l'intervalle  ] - 2 , + ∞ [.

                     On a :   f ' ( x ) =1 + 4 ( - 1 / ( x + 2 )² )

                      c'à-d   f ' ( x ) = 1 - 4 / ( x + 2 )²   =   ( ( x + 2 )² - 4 )  / ( x + 2 )²

                      c-à d  f ' (x ) =  ( x + 2 + 2 ) ( x + 2 -  2 ) / ( x + 2 )²

                      c-à-d   f '( x ) = ( x + 4 ) x  /  ( x + 2 )² )

                      Conclusion:  On a bien    f ' : x → ( x ( x+ 4 ) ) / ( x + 2 )²   sur  ] - 2 , + ∞ [ .

               b. Donnons le tableau de variation de f .

                   Pour tout x dans l'intervalle  ] - 2 , + ∞ [  f '( x ) est du signe de x ( x + 4 ) .                      

              4 . Regardons si la courbe de rencontre l'axe des abscisses sur ] - 2 , + ∞ [ ..

                  Pour cela considérons :    f( x ) = 0  avec x dans l'intervalle  ] - 2 , + ∞ [ .

                   Soit x > - 2.

                            f( x ) = 0   s'écrit     ( x² + x +2 ) /  (x + 2 ) = 0

                               c-à-d          x² + x + 2 = 0      ( 1 )      [  LE NUMERATEUR EST NUL ]

                     On a :       Δ = b² - 4 a c

                      Donc       Δ = 1² - 4 ( 1 ) ( 2) = - 7 

                     On a   Δ < 0

                    Pas de racine pour ( 1 )

         Conclusion: ( C ) ne rencontre pas l'axe des abscisses sur l'intervalle ] - 2 , + ∞ [ .

          5. Donnons l'équation réduite de la tangente ( T ) à ( C )  au point d'abscisse 0.

              On a en ce point une tangente horizontale car  f '( 0 ) = 0.

              L'équation de ( T ) est donc y = f ( 0 ). 

              Mais f( 0 ) = 1 .

               Conclusion:  On a :  ( T ) : y = 1

              6.  Complétons le tableau: 

              7. Courbe.

             8. Donnons les coordonnées du point Ω  intersection de D avec Δ.

                 Le système des équations de D et Δ est:

                      y = x - 1

                      x =    - 2

               Ainsi      x = - 2 et    y = - 2  - 1 = - 3        

                Conclusion:   On a :   Ω  ( - 2 ; - 3 )  .

               9. Soit les formules de changement de repère par changement d'origine:

                    x = X - 2

                    y = Y - 3

          Montrons que   ( C ): y = f( x ) avec x > - 2 dans le repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) )

           s'écrit     ( C ) : Y = X + 4 / X  avec  X > 0     dans le repère orthonormal ( Ω   ; vect( i ) , vect( j ) ) .

         Considérons :        y = f( x )            avec x > - 2

                   c-à-d           y = x - 1 + 4 / ( x +2 )    avec x > - 2

                 c-à-d         Y - 3 =    X - 2 - 1  +  4 / (  X - 2 + 2 )       avec X > 0 

                 c-à-d          Y = X +  4 / X    avec X > 0 .

           Conclusion : On a bien le résultat.

                    10.a.  Représentation des droites horizontales :

                               L_{- 1} : y = - 1

                               L ₁ :   y = 1

                                L₂  :   y = 2

                          b. Dénombrons les points communs entre ( C ) et chacune de ces droites.

                 Sur l'intervalle  ] - 2 , + ∞ [ :

                       L_{- 1} : y = - 1     ne rencontre pas ( C ).

                       L ₁ :   y = 1     rencontre une fois ( C ) .

                       L₂  :   y = 2     rencontre deux fois ( C )

                    c. Sur l'intervalle  ] - 2 , + ∞ [   donons le nombre de solutions

                         des équations:

                       *   f( x ) = - 1  est impossible car     L_{- 1 : y = - 1  ne rencontre pas ( C ) .}

                            Donc pas de solution pour ( x² + x + 2 ) / ( x + 2 ) = - 1.

                        *   f( x ) = 1   est possible pour une seule valeur de x  (  x = 0 ) car

                             L ₁ :   y = 1     rencontre une fois ( C ) .

                             Donc  pour ( x² + x + 2 ) / ( x + 2 ) = 1  il y a une seule solution.

                         *   f( x ) = 2   est possible pour deux valeurs de x  ( x = - 1 ou x = 2 )

                               car     L₂  :   y = 2     rencontre deux fois ( C ).

                                Donc  pour ( x² + x + 2 ) / ( x + 2 ) = 2  il y a deux solutions.

                d. Pour ( x² + x + 2 ) / ( x + 2 ) = 2  on peut adopter une résolution graphique.

                      Les abscisses des points communs à  ( C )  et  L₂  :   y = 2    sont - 1 et 2 .

                          Donc

                 Conclusion:     S { - 1 ; 2 }