INFO LISTE D'EX SUR LES ANGLES ORIENTES 1S JANVIER 09
abscisses curvilignes.)
Soit sur le cercle trigonométrique les points M( 2π / 5 ) et N( - π / 6 ).
1. Donner les abscisses curvilignes de M.
3. Donner une mesure en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) ).
4. Quelles sont les mesures en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) )?
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Conclusion: { 2π / 5 + 2 k π / k entier relatif }.
2. OUI.
En effet: 22 π / 5 - 2 π / 5 = 20 π / 5 = 2 × 2 π
Ce qui peut se noter : 22 π / 5 - 2 π / 5 = 0 [ 2 π ]
c-à-d 22 π / 5 et 2 π / 5 sont égaux à un multiple de 2 π près.
Conclusion: 22 π / 5 est bien aussi une abscisse curviligne du point M.
3. Une mesure en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) )
est : - π / 6 - 2 π / 5 = - 17 π / 30
Conclusion: Une mesure en radians de l'angle orienté
( vect(OM ) , vect (ON ) ) est - 17 π / 30
4. Les mesures en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) )
sont les éléments de l'ensemble:
{ - 17 π / 30 + + 2 k π / k entier relatif }.
Conclusion: { - 17 π / 30 + 2 k π / k entier relatif }.
On écrit: ( vect(OM ) , vect (ON ) ) = - 17 π / 30 [ 2π ]
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EX. 2 Donner la mesure principale d'un angle orienté dont un mesure en radians est :
49 π / 8.
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REP 1 . Il s'agit de trouver le réel x dans ] - π , π ] tel que :
49 π / 8 = x [ 2π ]
Deux méthodes sont possibles.
• Méthode intuitive.
On regarde dans 49 les multiples de 2 × 8 possibles.
49 = 3 ( 2 × 8 ) + 1
Donc 49 π / 8 = ( 3 ( 2 × 8 ) + 1 ) π / 8 = 3 ( 2 × π ) + π / 8
49 π / 8 = π / 8 [ 2 π ]
π / 8 est bien dans ] - π , π ].
Conclusion: La mesure principale de 49 π / 8 est π / 8 .
• Méthode générale.
On cherche l'entier relatif k tel que :
- π < 49 π / 8 + 2 k π =< π
Cela s'écrit en multipliant par 8 et en divisant par π :
- 8 < 49 + 2 k × 8 =< 8
c-à-d en retranchant 49
c-à-d - 8 - 49 < 16 k =< 8 - 49
c-à-d - 57 < 16 k =< - 41
c-à-d en divisant par 16
- 57 / 16 < k =< - 41 / 16
On a : - 57 / 16 ≈ - 3,56 - 41 / 16 ≈ - 2,56
Donc k = - 3
Reportons dans 49 π / 8 + 2 k π
49 π / 8 + 2 k π = 49 π / 8 + 2 ( - 3 ) π ( 49 - 48 ) π / 8
c-à-d 49 π / 8 + 2 k π = π / 8
Conclusion: La mesure principale est π / 8.
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EX.3 Même question avec - 19 π /3 .
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REP On a : - 19 π / 3 = - 18π / 3 - π / 3
Donc - 19 π / 3 = - π / 3 [ 2 π ] avec - π / 3 dans ]- π , π]
Conclusion: - π / 3 est la mesure principale
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EX.4 Soit les vecteurs non nuls vect( u ) , vect( v ) , vect( w ) tels que :
( vec( u) , vect( v ) ) = - π / 9 [ 2 π ] ( vect( u ) , vect( w ) ) = π / 4 [ 2 π ] Donner les mesures principales des angles orientés suivants : ( vect( v ) , vect( w ) ) ; ( - vect( u ) , vect( v ) ) ; ( - vect( v ) , - 2 vect( w ) ) ( - 2 vect ( u ) , vect( w ) ) . --------------------------------------------------------------------------------------------------- REP On a les réponses suivantes avec la relation de Chasles et les propriétés : Conclusion: • ( vect( v ) , vect( w ) ) = 13 π / 36 [ 2 π ] • ( - vect( u ) , vect( v ) ) = 8 π / 9 [ 2 π ]
• ( - vect( v ) , - 2 vect( w ) ) = 13 π / 36 [ 2 π ]
• ( - 2 vect ( u ) , vect( w ) ) = - 3 π / 4 [ 2 π ]
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EX . 5 Conclusion: On obtient 4 π / 3
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EX. 6 Conclusion: On obtient - 3 π / 4
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