INFO FEUILLE D' EXERCICES REVISIONS

                  AP    TS        sept-Oct  2013 

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         EXERCICE  1

           1. Soit la suite de terme général :

                        pour tout n dans IN

                        Est-elle convergente ?

             REPONSE :

                  On a : 

                 or                        | 2 / 7  |  < 1    

                  et                         | 1 / 2 | < 1  

                 et                         | 1 / 7 | < 1

                 Donc  d'après un résultat de cours:

                        lim  ( 2 / 7 )ⁿ   =  lim  ( 1 / 7 )ⁿ   =    lim  ( 1 / 2 )ⁿ    =0

                              n → + ∞                 n → + ∞               n → + ∞

                  Ainsi:          

                    Conclusion . OUI . La suite ( u )  converge vers 0

           2. Soit   la suite de teme général:

                             pour tout n dans IN

               Donner, sur IN, une suite qui minore la suite ( u_n ) .

               En déduire sa limite.

              REPONSE : 

               • Donnons une suite qui minore la suite ( u )   sur IN.

                         On a déjà :

                                        0 < √ ( 1 + n )  ≤  1+ n                       pour tout n dans IN

               En effet:      

                       On a :        0  < 1 + n  ≤ 1 + 2 n + n ²     car n est positif

                      mais           la fonction √  est croissante sur IR⁺  

                     Donc           0 < √ ( 1 + n )  ≤  √(1+ n )²          

                     c-à-d                0 < √( 1 + n )  ≤   1 + n                    pour tout n dans IN

            Pour les inverses on  a :

                                   1 / ( n + 1 )  ≤  1 / √( n + 1 )

           En multipliant par  n²  il vient:

                          n²  / ( 1 + n )    ≤   n²  / √( 1 + n )         pour tout n dans IN.

                  c-àd  

                             n²  / ( 1 + n )    ≤  u _n           pour tout n dans IN.

                    Nous avons trouver une suite ( v ) qui minore la suite ( u ) sur IN.

                    Ici:

                                   v_n =     n²  / ( n + 1 )     pour tout n dans IN

                 •   Montrons à présent que  lim v_n = + ∞

                                                                   n → + ∞

                     Soit à présent  n dans IN*.

                           On a :         n²  / ( 1 + n ) = n × n  / ( n ( 1 +  1 / n ) = n / ( 1 + 1 / n )

                           Or     lim  n / ( 1 + 1 / n ) =  + ∞

                                    n → + ∞

                     Donc               lim   n²  / ( 1 + n )   = +∞

                                                n → + ∞

                       c-à-d                lim v_n = + ∞

                                                n →  + ∞

                       Or                   v_n   ≤   u_n         pour tout n dans IN

                       On peut en utilisant un résultat de cours :

                                  Conclusion .   La suite (  u_n ) diverge vers + ∞

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     EXERCICE 2

          1.  La suite de terme général

          définie sur IN  est-elle géométrique ?

          Dans l'affirmative donner son premier terme et sa raison.

          2. Est-elle convergente ?

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      REPONSE:

              1. Regardons si la suite ( v ) est géométrique.

                         Soit  n dans IN

                          On a :  

                  Donc :

                           Pour tout n dans IN on a :

                        Conclusion:

                              La suite ( v_n ) est géométrique de raison 252 / 5 

                                   et de premier terme   v₀ = 1 / 140

                   2. Regardons si la suite ( v_n ) converge.

                           On a  :     252 / 5  > 1

                        Donc  d'après un résultat de cours:

                                          lim ( 252 / 5 )ⁿ  = + ∞

                                          n → + ∞

                            Ainsi:           lim [( 1 / 140 ) × ( 252 / 5 )ⁿ   ] = + ∞

                                                   n → + ∞

              Conclusion :

                      OUI. La suite géométrique ( v_n ) diverge vers + ∞

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      EXERCICE 3 

              Soit les fonctions   f : x →  x³  +  2 x²     

                                              g : x →  4 x - 1

                Déterminer le ou les abscisses des points d'intersections des courbes de f et g.

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         REPONSE :

                 • Les deux fonctions sont définies dans IR.

                 • Considérons le système :

                          y = x³ + 2 x² 

                          y = 4 x - 1                             où x est dans IR

                 c-à-d

                                  x³  + 2 x² = 4 x - 1

                                 y = 4 x - 1

                    c-à-d                        

                              x³  + 2 x² -  4 x + 1 = 0        ( 1 )

                                y = 4 x - 1                           ( 2 )

                    Résolvons ( 1 ) pour avoir les abscisses des points communs.

                     1 est une racine évidente  car  la somme des coefficients est nulle.

                                             1 + 2 - 4 + 1 = 0

                       x³  + 2 x² -  4 x + 1  est donc factorisable par x - 1

                     Trouvons l'autre facteur du second degré       a x² + b x + c.

                     Utilisons la méthode par identification.

                        On a:

                            x³  + 2 x² -  4 x + 1  = ( x - 1 ) ( a x² + b x + c )           pour tout rérl x

                c-à-d

                            x³  + 2 x² -  4 x + 1  =  a x³ + b x² + c x  - (  a x² + b x + c )        pour tout réel x

                c-à-d

                              x³  + 2 x² -  4 x + 1  =  a x³ + b x² + c x  -  a x² - b x - c             pour tout réel x    

                c-à-d                           

                               x³  + 2 x² -  4 x + 1  =  a x³ + ( b - a )  x² +( c - b ) x   - c             pour tout réel x    

                PAR IDENTIFICATION 

                                1 = a

                                2 =  b - a

                            - 4  =  c - b

                               1 = - c

               Résolvons ce système:

                                  a = 1 

                                  b = 2 + a = 2 + 1 =  3

                                  c = - 1

                                 b = c + 4  = - 1 + 4 = 3

            Donc on a :              x³  + 2 x² -  4 x + 1 = ( x - 1 ) (  x² + 3 x  - 1 )

           On en déduite     x³  + 2 x² -  4 x + 1 = 0  ssi  x = 1  ou  x² + 3 x  - 1 = 0

           Résolvons :               x² + 3 x - 1 = 0

                        On a :   Δ =  b² - 4 a c

                              Δ =  3² -  4 × 1 × ( - 1 ) = 9 + 4 = 13

                              Δ  > 0

                     Les deux racines distinctes sont:

                           α = ( - b - √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 - √13 ) / 2

                          β =  ( - b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 + √13 ) / 2

                         Conclusion :

                     Les abscisses des points communs sont:

                             1    ;      ( - 3 - √13 ) / 2     ;    ( - 3 + √13 ) / 2

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