INFO TEST 1 ARITHMETIQUE BTS1A 6 décembre 3011
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EXERCICE 1
Soit n un entier naturel.
Soit N = 2 n2 + 3 n
Complétez le tableau ci - dessous.
de façon à faire apparaître les restes de la division
euclidienne de N par 5 .
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Réponse:
| Restes de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Restes de la division de 3 n par 5 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| Restes de la division de n2 par 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
| Restes de la division de 2 n2 par 5 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 |
| Restes de la division de N par 5 | 0 | 0 | 4 | 2 | 4 |
Explication pour la dernière colonne.
• Le reste de la division de n par 5 est 4.
D'où n ≡ 4 [ 5 ]
Ce qui implique 3 × n ≡ 3 × 4 [ 5 ]
c-à-d 3 n ≡ 12 [ 5 ]
Or 12 = 5 × 2 + 2
Ainsi: 3n ≡ 2 [ 5 ]
• De nouveau: n ≡ 4 [ 5 ] implique n2 ≡ 42 [ 5 ]
Mais 4 2 = 16 = 3 × 5 + 1
Ainsi n2 ≡ 1 [ 5 ]
Donc : 2 × n2 ≡ 2 × 1 [ 5 ]
c-à-d 2 n2 ≡ 2 [ 5 ]
Par somme membre à membre il vient :
2 n2 + 3 n ≡ 4 [ 5 ] avec 0 ≤ 4 < 5
On a bien 4 qui est le reste de la division de 2 n2 + 3 n par 5.
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EXERCICE 2
1. Donner une puissance de 3 , notée 3k avec k entier naturel non nul ,
telle que 3k ≡ 1 [ 7 ] .
2. En déduire les restes de la division par 7 de 3n pour tout entier naturel n.
( Indications mises au tableau :
Distcuter suivant le reste de la division de n par k . )
3. Application :
Donner le reste de la division par 7 de 337 .
Commentaire: cet exercice est aménagé pour qu'un étudiant
puisse prendre des initiatives.
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Réponse :
1. Essayons des puissance se 3.
On a: 30 ≡ 30 [ 7 ] c-à-d 30 ≡ 1 [ 7 ]
En multipliant par 3 on a : 31 ≡ 3 [ 7 ]
En remultipliant par 3 on a : 32 ≡ 9 [ 7 ]
c-à-d comme 9 = 7 + 2 32 ≡ 2 [ 7 ]
En remultipliant par 3 on a : 33 ≡ 6 [ 7 ]
c-à-d comme 6 = 7 - 1 33 ≡ - 1 [ 7 ]
Ce - 1 est intéréssant car son carré est 1.
Il vient : ( 33 )2 ≡ ( - 1 )2 [ 7 ]
c-à-d 36 ≡ 1 [ 7 ]
L'entier k = 6 convient .
Conclusion : On a 3 6 ≡ 1 [ 7]
2. Donnons les restes de la division par 7 de 3n pour tout entier naturel n.
( Il ne s'agit de citer abstraitement les restes possible de la division
d'un entier naturel par 7. )
Nous considérons une disjonction de cas:
Nous allons discuter suivant le reste de la division de n par 6
• Cas : il existe q dans IN tel que n est de la forme n = 6 q + 0
On vient de voir 36 ≡ 1 [ 7 ]
On a : ( 36 )q ≡ 1q [ 7 ]
Donc 36q ≡ 1 [ 7 ] avec 0 ≤ 1 < 7
Dans ce cas Le reste de la division de 3n par 7 est 1
• Cas : il existe q dans IN tel que n est de la forme n = 6 q + 1
Comme 36q ≡ 1 [ 7 ]
en multipliant par 3 il vient :
36q+1 ≡ 3 [ 7 ] avec 0 ≤ 3 < 7
Ainsi :
Dans ce cas le reste dans la division de 3n par 7 est 3 .
•Cas : il existe q dans IN tel que n est de la forme n = 6 q + 2
Comme 36q+1 ≡ 3 [ 7 ]
En multipliant par 3 il vient : 36q+2 ≡ 9 [ 7 ]
Or 9 = 7 + 2
Ainsi :
36q+2 ≡ 2 [ 7 ] avec 0 ≤ 2 < 7
Dans ce cas le reste dans la division de 3n par 7 est 2 .
• Cas : il existe q dans IN tel que n est de la forme n = 6 q + 3
Comme 36q+2 ≡ 2 [ 7 ]
En multipliant par 3 il vient :
36q+3 ≡ 6 [ 7 ] 0 ≤ 6 < 7
Dans ce cas le reste dans la division de 3n par 7 est 6 .
• Cas : il existe q dans IN tel que n est de la forme n = 6 q + 4
Comme 36q+3 ≡ 6 [ 7 ]
On a en multipliant par 3 :
36q+4 ≡ 18 [ 7 ]
Or 18 = 2× 7 + 4
Donc: 36q+4 ≡ 4 [ 7 ] avec 0 ≤ 4 < 7
Dans ce cas le reste dans la division de 3n par 7 est 4 .
• Cas : il existe q dans IN tel que n est de la forme n = 6 q + 5
Comme 36q+4 ≡ 4 [ 7 ]
En multipliant par 3 il vient :
36q+5 ≡ 12 [ 7 ]
Mais 12 = 7 + 5
Ainsi :
36q+5 ≡ 5 [ 7 ] avec 0≤ 5 < 7
Dans ce cas le reste dans la division de 3n par 7 est 5.
Résumé :
| Reste de la division par 6 de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Reste de la division par 7 de 3n | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 |
3.Application:
37 = 6 × 6 + 1 avec 0 ≤ 1 < 6
Le reste de la division de 37 par 6 est 1.
On a vu que dans ce cas le reste de la division par 7 de 337 est 3.
Conclusion la réponse est 3
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EXERCICE 3
Montrer que pour tout n dans IN ,
( 3 / 2 )n ≥ 1 + n / 2
( On pourra faire une récurrence )
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Réponse:
Faisons une récurrence sur IN.
• Soit n = 0
On a : ( 3 / 2 )n = 1
et 1 + n / 2 = 1
Ainsi on a bien : ( 3 / 2 )n ≥ 1 + n / 2 quand n = 0
• Soit n un entier naturel quelconque.
Montrons que ( 3 / 2 )n ≥ 1 + n / 2 => ( 3 / 2 )n+ 1 ≥ 1 + ( n + 1 ) / 2
Considérons ( 3 / 2 )n ≥ 1 + n / 2
Multiplions les deux membres de cette inégalité par 3 / 2.
Il vient ( 3 / 2 )n+ 1 ≥ ( 1 + n / 2 ) ( 3 / 2 )
c-à-d ( 3 / 2 )n+ 1 ≥ ( 1 + n / 2 ) ( 1 + 1 / 2 )
c-à-d ( 3 / 2 )n+ 1 ≥ 1 + n / 2 + ( 1 + n / 2 ) ( 1/ 2 )
c-à-d ( 3 / 2 )n+ 1 ≥ 1 + n / 2 + 1 / 2 + n / 4
c-à-d ( 3 / 2 )n+ 1 ≥ 1 +( n +1 ) / 2 + n / 4
Or 1 +( n +1 ) / 2 + n / 4 ≥ 1 +( n +1 ) / 2
D'où ( 3 / 2 )n+ 1 ≥ 1 + ( n + 1 ) / 2
L'implication est avérée.
Conclusion : Le résultat est vérifié.