INFO TEST BTS1 A du 26 février 2013

    TEST                     Arithmétique- Matrices- Graphes            BTS1A   mardi 26 février 2013

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   EXERCICE 1      4  Points

      1. Donner tous les multiples 56 compris entre 800 et 1200.

        Réponse:   On a:

           56 × 15     = 840

           56 × 16     = 896

           56 × 17     = 952

           56 × 18     = 1008

           56 × 19     = 1064

           56 × 20     = 1120

           56 × 21    = 1176

            Conclusion :   840  ;  896  ; 952  ;  1008  ; 1064 ;   1120  ;   1176

      2. A-t-on   733 ≡ 5 [ 56 ]   ?  Expliquer.      

         Réponse:   OUI      car    733 - 5 = 728 = 13 ×56

      3. Quand on écrit     264 ≡ 40 [ 56]  avec    0≤ 40 < 56

            Quel est le reste de la division de 264 par 56 ?

            Réponse:

                   C'est 40 

      4. Quelle congruence peut traduire l'égalité :   850 = 56 × 15 + 10  ?

            Réponse:

                On peut dire :

                       850 ≡ 10 [ 15]

               ou aussi bien        850 ≡ 10 [ 56]

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      EXERCICE 2       8 Points

               1. Soit p = 93

               a. Donner une valeur approchée de √p.

                    Réponse:     √p  ≈  9,64 

               b. L'un des nombres premiers 2 , 3,  5 , 7  divise-t-il p ?

                    Réponse:   OUI  3 divise 93  car 93 = 3 × 31 

          2. Compléter les congruences:    

                          123 ≡  .....   [ 5 ]

                          725  ≡  .....   [ 12 ]

                 Réponse:                         

                           123 ≡  3   [ 5 ]   car    123 - 3 = 120 = 24 × 5

                          725  ≡  5   [ 12 ]   car   725 - 5 = 720 = 60 × 12

         3. a. Trouver un entier naturel n non nul tel que

                  5n   ≡ 1 [7]

                  Réponse:

                         n = 6 convient 

                            56   ≡ 1 [7]      car      56  = 15625 = 1 + 15624 = 1 + 2232 × 7

             b. Quels sont les restes possibles dans la division par 6 ?   

                Réponse:  

                      0  ; 1   ; 2  ; 3  ; 4  ;  5

             c. Soit k un entier naturel.

                  Reproduire et compléter la congruences:

                        56×k         ≡   ....  [7]  

                         56×k + 1   ≡   ....  [7]  

                             .....

                        56×k + 5   ≡   ....  [7]    

                  Réponse:

                    56×k         ≡    1  [7]       avec   0 ≤  1 < 7

                    56×k + 1   ≡ 5   [7]         avec    0 ≤  5 < 7

                    56×k + 2   ≡ 4   [7]          avec    0 ≤  4 < 7

                     56×k + 3   ≡ 6   [7]         avec    0 ≤  6 < 7

                    56×k + 4   ≡ 2   [7]           avec   0 ≤  2 < 7

                    56×k + 5   ≡ 3   [7]          avec     0 ≤  3 < 7

                   Reproduire et compléter le tableau:

Le reste dans la division de n par 6  0        1     2     3        4      5   
Le reste dans la division de 5n par  7   1    5  4  6   2  3

        Quel est le reste de la division de 539   par 7?

                 Réponse:

                   39 = 6 × 6 + 3   avec   0≤  3  < 6

                  Donc  

                 Le reste de la division de 539   par 7   est   6 

      4. Soit n un entier naturel quelconque:

                   Reproduire et compléter le tableau :

 Le reste dans la division de n par 7        0     1      2      3        4      5       6     
 Le reste dans la division de n2 par 7  0  1  4  2  2  4  1
Le reste dans la division de 4 n par 7  0  4  1  5  2  6  3
Le reste dans la division de n2 + 4 n par par 7  0  5  5  0  4  3  4

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           EXERCICE 3          8 Points

         Un graphe G orienté simple a quatre sommets A, B , C, D .

          Il comporte les arcs ( A , B) , ( B , C ) , ( B , D ), ( A , D) , (C  , D ) .

         1. a. Représenter le graphe G.

                     Réponse:

                         graphe956.png

             b. Donner sa matrice adjacente M.

                    Réponse:

                     test41.png

         2. Trouver la matrice M2  .  ( voir ci-dessus)

         3 . Faire un tableau avec les sommets , les prédécesseurs , les niveaux.

               Réponse:

Prédécesseurs  Sommets Niveaux
  A 0
A B 1
B C 2
ABC D 3            

         4. Combien y a -t-il de ce chemins de longueur 2?     

                  Citez ces chemins.      

                   Réponses:                                                        

                 Il y a trois chemins de longueur 2

                  car dans M2     il y a trois 1 à part les 0                                                                                          

              Citez ces chemins.

                   ABC        ABD        BCD

        5. Existe-t-il des chemins de longueur 3?  

                    Réponse :  

                     Un seul   ABCD

         car M3  ne comporte qu'un suel terme non nul et qui est 1

        6. Compléter le graphe en mettant le ou les raccourcis en couleur.

             Réponse:

                  graphe957.png

                                                Un seul raccourci    ( A, C )

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