INFO TEST n° 2 Arithmétique BTS1 B 14 avril 2015
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EXERCICE 1 5 points
1. Soit n un entier naturel quelconque. Reproduire et compléter le tableau :
| Les restes dans la division de n par 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Les restes dans la division de n2 par 7 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 |
| Les restes dans la division de 4 n par 7 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
| Les restes dans la division de n2 + 4 n par 7 | 0 | 5 | 5 | 0 | 4 | 3 |
4 |
2. L'entier naturel n2 + 4 n est-il toujours divisible par 7 ?
NON car la dernière ligne n'est pas constituée que de 0.
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EXERCICE 2 5 Points
1. Justifier chacune des congruences suivantes:
100 ≡ 1 [ 11 ] car 100= 1 + 3 × 33
10 ≡ - 1 [ 11 ] car 10 + 1 = 1 × 11 ainsi 10 = − 1 + 1 × 11
1 ≡ 1 [ 11 ] car 1 = 1 + 0 × 11
2. Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
a. Quelle congruence modulo 11 peut- on écrire pour N ?
On peut déduire des trois congruences
100 ≡ 1 [ 11 ]
10 ≡ - 1 [ 11 ]
1 ≡ 1 [ 11 ]
que :
100 a ≡ a [ 11 ]
10 b ≡ − b [ 11 ]
c ≡ c [ 11 ]
Donc en sommant:
100 a + 10 b + c ≡ a − b + c [ 11 ]
Conclusion : N ≡ a − b + c [ 11 ]
b. Quel critère de divisibilité par 11 pouvez-vous proposer ?
Soit N = abc dans le système décimal
N est divisible par 11 si et seulement si a − b + c l'est
c. Appliquer ce critère à : N = 638
On a : 6 − 3 + 8 = 11
Or 11 divise 11
Conclusion : 638 est divisible par 11
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EXERCICE 3 10 points
1. Donner la décomposition en facteurs premiers de a = 3600 et b = 180.
On a : a = 3600 = 24 × 32 × 52
b = 180 = 2 2 × 32 × 5
2.Trouver le PGCD de a et b .
PGCD( a , b ) = 2 2 × 32 × 5 = 180
PGCD( a , b ) = 180
3. L'entier 200 est-t-il un multiple de 180 ?
200 n'est pas divisble par 180.
Donc: NON
4. Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 2 [ 7 ]
32 = 9 = 2 + 7
Donc 32 ≡ 2 [ 7 ]
Ainsi le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 2 [ 7 ] est k = 2.
5. Donner tous les multiples de 56 compris entre 800 et 1200.
Un multiple de 56 est de la forme 56 k avec k un entier .
On impose: 800 ≤ 56 k ≤ 1200
c-à-d
800 / 56 ≤ k ≤ 1200/ 56
c-à-d 14,28 ≤ k ≤ 21,43
Donc k est un entier compris entre 15 et 21
Ainsi les multiples de 56 compris entre 800 et 1200
sont:
56 × 15 = 840
56 × 16 = 896
56 × 17 = 952
56 × 18 = 1008
56 × 19 = 1064
56 × 20 = 1120
56 × 21 = 1176
Conclusion : 840 ; 896 ; 952 ; 1008 ; 1064 ; 1120 ; 1176
6. A-t-on 733 ≡ 5 [ 56 ] ?
OUI car 733 - 5 = 728 = 13 × 56
7. Quand on écrit 264 ≡ 40 [ 56] avec 0≤ 40 < 56
Quel est le reste de la division de 264 par 56 ?
C'est 40
8. Quelle congruence peut traduire l'égalité : 850 = 56 × 15 + 10 ?
On peut dire: 850 ≡ 10 [ 15]
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