LISTE 1 D'EXERCICES SUR L'ARITHMETIQUE BTS TS Spé maths
EXERCICE 1
Trouver le plus petit entier naturel n non nul tel que: 2n ≡ 1 [ 7 ]
c-à-d
Trouver le plus petit entier naturel n non nul vérifiant:
il existe un entier relatif k tel que 2n = 1 + 7 k
EXERCICE 2
1. Trouver le reste de la division euclidienne de 247 par 7.
2. Trouver le reste de la division euclidienne de 349 par 3.
• Rappel: A la calculatrice 247 - 7* int( 247 / 7 ) donne
directement le reste de la division euclidienne de 247 par 7.
• Remarque:
Pour obtenir le reste de la division euclidienne de 247 par 7
une méthode consiste à soustraire à 247 autant de fois 7 que
le résultat est positif.
Le script suivant en Python 2.7 permet de la faire:
def div():
a=input("Donner un entier naturel a : a = ")
b=input("Donner un entier naturel b non nul : b = ")
q=0
while b<=a:
a=a-b
q=q+1
print "Le quotient de la division de a par b est",q
print ("Le reste de la division de a par b est "),a
EXERCICE 3
Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne par 5 ?
Soit r l'un d'eux, quelle congruence peut-on écrire et avec quelle information sur r ?
EXERCICE 4
Soit n un entier relatif.
Si le reste de la division de n par 3 est 0 quelle congruence modulo 3 peut-on écrire?
Si le reste de la division de n par 3 est 1 quelle congruence modulo 3 peut-on écrire?
Si le reste de la division de n par 3 est 2 quelle congruence modulo 3 peut-on écrire?
EXERCICE 5
Soit n un entier relatif.
Compléter le tableau :
| Restes de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Restes de la division de n2 par 5 |
Soit N = n2 + 3 n
Déterminer les entiers relatifsn tels que N ≡ 0 [ 5 ]
( c-à-d les entiers relatifs n tls que N soit divisible par 5. )
EXERCICE 6
Trouver le reste de la division de 247349 par 7.
On procédera par étapes:
•Trouver le reste r de la division de 247 par 7. ( voir exercice n° 2 )
• Trouver le plus petit entier naturel non nul k tel que rk ≡ 1 [ 7 ]
• Trouver le reste r ' de la division de 349 par k. ( voir exercice n ° 2 )
• Montrer que 247349 ≡ r r ' [ 7 ]
Conclure
EXERCICE 7
Démontrer que pour tout entier relatif n on a :
n ( n2 + 5 ) qui est divisible par 6.
( Faire un tableau avec une première ligne pour les restes de la division par 6)
EXERCICE 9
Démontrer par deux méthodes que :
Pour tout entier naturel n 23 n - 1 est divisible par 7 .
( Par récurrence sur IN ou en montrant que 23 n ≡ 1 [ 7 ] pour tout entier naturel n )
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