CHP.3 NOMBRES PREMIERS

            CHP. 3                   Nombres premiers       BTS1    février 2012

        1.Propriété.

                Un entier naturel non nul n ne peut admettre dans IN comme diviseur 

                qu'un entier naturel m tel que 1≤ m ≤ n.

                Un entier naturel non nul ne peut donc admettre dans IN

                 qu'un nombre fini de diviseurs.

                      Par exemple:   Soit n = 12

                        n ne peut avoir plus de 12 diviseurs dans IN.

                       Les diviseurs éventuels sont dans { 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 }

       2. Définition: Un nombre premier p est un entier naturel tel que p ≥ 2  , divisible, dans IN,

                                                par  seulement  ( deux entiers distincts  ) 1 et  lui-même.

                   Par exemple :   7 est dans IN*

                                              7 ≥ 2  

                                                Ses seuls diviseurs dans IN sont 1 et 7 

                                                7 est un nombre premier.

                   Par exemple:      On considère comme connu le fait que

                                                 2 ;  3  ;  5  ; 7  sont des nombres premiers.

                                                 Ce sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à 10. 

         3. Propriété ( admise ):

              Soit n un entier tel que n ≥ 2.

               Alors il est divisible dans IN par au moins un nombre premier.

             Explication:

                   • Ce peut être n lui-même si n est un nombre premier.

                   •  Si n lui-même n'est pas un nombre premier il est divisible alors 

                       par au moins un autre entier  que 1 et n.                      

                       Ainsi l'ensemble des diviseurs de n autres que 1 et n est non vide

                        et admet un plus petit élément  p.

                       En raisonnant par l'absurde on montre que p est premier

                        sans quoi n admet un diviseur autre que 1 et n encore plus petit 

                        que p. )

      4. Propriété : Critère de primalité  ( Très important  pour les exercices )

                     Soit n un entier tel que n ≥ 2.

                     Alors:

   n n'est pas un nombre premier     ⇒     il existe un nombre premier p   tel que    p ≤ √n   qui divise n

       Contraposée: ( très importante )

                          Soit n un entier tel que n ≥ 2.

   Aucun nombre premier p tel que  p ≤ √n   ne divise n       ⇒      n est un nombre premier 

             Bien entendu  2 , 3 , 5 , 7 sont les nombres premiers entre 0 et 10.

             Ils sont connus indépendamment de ce critère.

              Exemple d'utilisation:

                             Soit n = 13

                                             13 ≥ 2

                                           √13 ≈ 3,6

                               Les nombres premier p tels que p ≤ 3,6

                                 sont:         2  ;  3  

                                 Or    ni 2    ni   3 ne divise 13

                                 Donc 13 est un nombre premier 

        5. Propriété:

               L'ensemble des nombres premiers est infini.

                ( Cela se montre en raisonnant par l'absurde )

         6.  Crible d'Erathostène

                    Il permet d'avoir les nombres premiers inférieurs à 100

                            Soit n un entier naturel tel que   2 ≤ n ≤ 100

                             On a  :   √n ≤ 10

                            Les nombres premiers entre 2 et 10 sont :

                                      2   ; 3  ;  5  ; 7

                     On met dans un tableau tous les entiers de 1 à 100.

                                                 Carreent 

                      Le but est de barrer ceux qui ne sont pas des nombres premiers.

                      On barre 1.

                      Puis on barre, à part 2, tous les multiples de 2.

                      On barre à part 3, tous les multiples de 3.

                      On barre, à part 5, tous les multiples de 5.

                       On barre ,  à part 7, tous  le multiples de 7.

                       Les entiers n qui ne sont pas barrés ne sont donc pas  

                       divisibles par  2 ni par 3 ni par 5 ni par 7

                      c-à-d ne sont pas divisibles un nombre premier p  tel que   p ≤  √n.

                       Ils sont donc des nombres premiers  d'après le critère de primalité.

                    Voici  le tableau des nombres premier inférieurs ou égaux à 100.                            

                      en appliquant ce crible d'érathostene:

                                      Scar1

                             c-à-d

                        Erat            

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