EXERCICE d'Arithmétique.
Un jeu classique consiste à coder des messages.
Pour cela, on utilise la correspondance entre les lettres de l'alphabet et
un nombre entier compris entre 0 et 25.
Le tableau ci-dessous donne cette corespondance:
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
Le codage affine consiste à choisir une clé ( a ; b ) formée de deux nombres
entiers a et b compris entre 0 et 25 et à remplacer une lettre par une
autre selon le principe suivant:
- On lit sur le tableau le nombre x correspondant à la lettre.
- On calcule le reste r de la division de a x + b par 26.
Ainsi: r ≡ ax + b [ 26 ] avec 0 ≤ r < 26
- On lit sur le tableau la lettre correspondant au nombre r .
Cette lettre est la lettre codée.
1. Coder l'essentiel lettres F,H,L avec la clé ( 7 ; 5 ).
2. Que se passe-t-il pour les lettres D et Q si l'on prend la clé ( 2 , 3 )?
3. On considère un entier x compris entre 0 et 25.
a. Donner, sans justification, les restes obtenus dans la division euclidienne
de 13 x + 2 par 26.
b. Coder le mot DERNIER avec la clé ( 13 ; 2 )
Commenter le résultat obtenu.
4.Que doit-on exiger pour qu'un codage soit acceptable ?
5. Quels sont les entiers a entre 0 et 25 qui n'admettent que 1
comme diviseur commun avec 26 ( c-à-d premiers avec 26 )?
6. On admet qu'une clé ( a , b ) est convenable quand a est un
entier entre 0 et 25 premier avec 26 et b un entier entre 0 et 25.
Combien y a-t-il de clés ( a ; b ) convenables ?
7. A-t-on 19 × 11 ≡ 1 [ 26 ] ? Justifier.
Montrer alors que 11 a ≡ 21 [ 26 ] peut s'écrire a ≡ 9 [ 26 ]
8. Le mot ALEATOIRE a été codé à l'aide d'une clé ( a ; b ), reconnue
convenable, en le mot CXMCRYWZM .
Déterminer cette clé ( a ; b ) utilisée.
9.a. Trouver le plus petit entier n tel que n × 9 ≡ 1 [ 26 ]
b. Soit 9 x + 2 ≡ r [ 26 ]
avec 0 ≤ r < 26 et 0 ≤ x < 26
Trouver une congruence qui permet d'avoir x modulo 26.
c. Application: Décoder la lettre Z sachant que la clé de codage
est ( a ; b ) = ( 9 ; 2 ).
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