PPCM de deux entiers naturels non nuls. BTS1 mars 2014
1. Th de Gauss pour les entiers naturels:
Soit a , b , c des entiers naturels non nuls.
Si c divise le produit a× b et PGCD( c , a ) = 1
alors c divise b.
2. Définition:
Le PPCM de deux entiers naturels (non nuls)
est leur plus petit multiple commun non nul.
On note PPCM(a, b) le PPCM des nombres a et b.
Si l'un est égal à 1 leur PPCM est l'autre.
3. Propriété.
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
alors PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
4. Comment trouver le PPCM des deux entiers naturels non nuls a et b
tels que a ≥ 2 et b ≥ 2?
•Méthode à l'aide de la décomposition en facteurs premiers.
On considère le produit des facteurs premiers communs ou non aux décompositions
avec l' exposant le plus grand.
Exemple: Soit a = 72 b = 132
a = 2 × 36 = 2 × 2×18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32
b = 2 × 66 = 2 × 2 × 33 = 2 × 2 × 3 × 11 = 22 × 3 × 11
Le plus petit multiple commun non nul est donc
23 × 32 × 11 = 792
PPCM( 72 ; 132 ) = 792
•Seconde méthode en utilisant le PGCD:
On extrait le PPCM de l'égalité:
PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
Il faut calculer PGCD( a , b ) d'abord.
.
Ici : PGCD(72, 132) = 22 × 3 =12
Ainsi :
12 × PPCM( 72 , 132 ) = 72 × 132
c-àd
PPCM(72, 132) = (72 × 132) / 12
c-àd PPCM(72, 132) = 792
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