INFO TEST Arithmétique BTS1 A 19 mars 2014
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EXERCICE 1
1. Soit n un entier naturel quelconque.
Reproduire et compléter le tableau :
| Les restes dans la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| Les restes dans la division de n2 par 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | ||
| Les restes dans la division de 3 n + 1 par 5 | 1 | 4 | 2 | 0 | 3 | ||
| Les restes dans la division de n2 + 3 n+ 1 par 5 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | |
2. L'entier naturel n2 + 3 n + 1 est-il toujours divisible par 5 ?
NON. C'est le cas seulement si n a pour reste 1 dans la division par 5
3. Soit n = 36. Le nombre n2 + 3 n + 1 est-il divisible par 5?
36 = 5 × 7 + 1 avec 0 ≤ 1 < 5
Donc 36 a pour reste 1 dans la division par 5
Conclusion:
Pour n = 36 , n2 + 3 n + 1 est donc divisible par 5
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EXERCICE 2
1. Quel est le reste de la division euclidienne de 10 par 7 ?
10 = 7 × 1 + 3 avec 0 ≤ 3 < 9
Conclusion : le reste de la division euclidienne de 10 par 7 est 3
Quelle congruence peut-on en déduire ?
Conclusion: On a 10 ≡ 3 [ 7 ]
2.Soit n un entier naturel quelconque .
A-t-on que 102 ≡ 2 [ 7 ] ? Justifier.
OUI. En effet:
10 ≡ 3 [ 7 ]
Donc on a:
102 ≡ 32 [ 7 ]
c-à-d comme 9 = 7 + 2
102 ≡ 2 [ 7 ]
Conclusion: 102 ≡ 2 [ 7 ] pour tout entier naturel n
• Comme 102 ≡ 2 [ 7 ] on a 1000 ≡ 20 [ 7 ]
Mais 20 = 21 - 1 = 3 × 7 - 1
Donc:
Conclusion : OUI. 1000 ≡ - 1 [ 7 ]
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EXERCICE 3
On considère les trois congruences suivantes :
100 ≡ 2 [ 7 ]
10 ≡ 3 [ 7 ]
1 ≡ 1 [ 7 ]
Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
a. Quelle congruence modulo 7 peut-on écrire pour N ?
On a : 100 ≡ 2 [ 7 ] donc 100 × a ≡ 2 × a [ 7 ]
10 ≡ 3 [ 7 ] donc 10 × b ≡ 3 × b [ 7 ]
1 ≡ 1 [ 7 ] donc 1 × c ≡ 1× c [ 7 ]
En sommant on obtient:
a × 102 + b × 10 + 1× c ≡ 2 × a + 3 × b + 1× c [ 7 ]
c-à-d
N ≡ 2 × a + 3× b + 1× c [ 7 ]
Conclusion: N ≡ 2a + 3 b + c [ 7 ]
b. Soit N = 861. En utilisant le résultat précédent montrer que N est divisible par 7.
On a : a = 8 b = 6 c = 1
Donc 2 a + 3 b + 1 = 2 × 8 + 3 × 6 + 1 = 35
Or 35 est divisible par 7.
Donc 861 ≡ 0 [ 7 ]
Conclusion N est-il divisible par 7 ?
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EXERCICE 4
1 . Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 2 [ 5 ]
On a : 32 = 9 = 5 + 4
Donc :
On a: 32 ≡ 4 [ 5 ]
En élevant multipliant par 3 il vient :
33 ≡ 12 [ 5 ] Mais 12 = 2 × 5 + 2
c-à-d
33 ≡ 2 [ 5 ]
Conclusion : k = 3 convient
2. Etablir que pour tout entier naturel n on a:
33n ≡ 2n [ 5 ]
En effet :
Soit n dans IN.
On a vu que : 33 ≡ 2 [ 5 ]
Donc ( 33 )n ≡ 2n [ 5 ]
c-à-d
Conclusion: 33n ≡ 2n [ 5 ]
3. Soit A = 33 n+ 1 + 2n + 1 où n est un entier naturel quelconque.
En déduire que A ≡ 0 [ 5 ]
On a :
33n ≡ 2n [ 5 ] donc en multipliant par 3 on a: 33n+1 ≡ 3 × 2n [ 5 ]
et 2n + 1 ≡ 2n + 1 [ 5 ]
il vient en sommant:
33 n+ 1 + 2n + 1 ≡ 3 × 2n + 2n + 1 [ 5 ]
c-à-d A ≡ 3 × 2n + 2 × 2n [ 5 ]
Mais 3 × 2n + 2 × 2n = ( 3 + 2 )× 2n = 5 ×