TEST n° 2 Arithmétique BTS1 A 15 avril 2015
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EXERCICE 1 5 points
1. Soit n un entier naturel quelconque. Reproduire et compléter le tableau :
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Les restes dans la division de n par 5 sont |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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Les restes dans la division de n2 par 5 sont |
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Les restes dans la division de 6 n par 5 sont |
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Les restes dans la division de n2 + 6 n par 5 |
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2. L'entier naturel n2 + 6 n est-il toujours divisible par 5 ?
EXERCICE 2 5 Points
Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
1. Justifier chacune des congruences suivantes:
100 ≡ 2 [ 7 ]
10 ≡ − 4 [ 7 ]
1 ≡ 1 [ 7 ]
Compléter alors:
100 a ≡ .... [ 7 ]
10 b ≡ .... [ 7 ]
1 c ≡ ....... [ 7 ]
2. a. Quelle congruence modulo 7 peut- on en déduire pour N ?
Que se passe-t-il quand 2 a − 4 b + c est divisible par 7 ?
Lorsque N est divisble par 7 que peut-on dire de 2 a − 4 b + c ?
b. Quel critère de divisibilité par 7 pouvez-vous proposer ?
c. Appliquer ce critère à N = 287 afin de savoir s'il est divisible par 7.
EXERCICE 3 10 points
1. Donner la décomposition en facteurs premiers de a = 12600 et b = 140.
2.Trouver le PGCD de a et b .
3. L'entier 200 est-t-il un multiple de 75 ?
4. Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 1 [ 5 ]
5. Donner tous les multiples de 56 compris entre 800 et 1200.
6. A-t-on 733 ≡ 5 [ 56 ] ?
7. Quand on écrit 264 ≡ 40 [ 56] avec 0 ≤ 40 < 56
quel est le reste de la division de 264 par 56 ?
8. Quelle congruence peut traduire l'égalité : 850 = 56 × 15 + 10 ?
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