INFO EX1 BAC S 2013

                   INFO       EXERCICE1        BAC S             2013

           EXERCICE 1      4    POINTS

           Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs:

           35 % des plants proviennent de l'horticulteur H1  , 25 % de l'horticulteur H2 ,

           et le reste de l'horticulteur H3 .

           Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres: des conifères et des arbres à feuilles.

            La livraison  de l'horticulteur H1 comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur

           H2 n'en comporte que 50 % et celle de l'horticulteur H3 seulement 30%.

       1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

            On envisage les événements suivants:

               - H1 : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H1",

               - H2 : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H2",

                - H3 : " l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H3",

                - C : " l'arbre est un conifère",

                - F : " l'arbre acheté est un feuillu".

            a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

               Arbre pondéré.

         On a :

            arbreex1-1.png   

              car:        P( H3  )  =  1 - 35 % - 25 %  = 40 %

                      probcond.png

                       probcond2.png

                        probcond3.png

                      b. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H3.

                           On a :

                        rep1-1.png

                     c. Justifier que  P( C ) = 0,525.

                              On a :

                                         commentaire.png

                           Donc 

                        pc.png

                          c-à-d

                                    P ( C ) = 0,35 × 0,8 + 0,25 × 0,0,5 + 0,4 ×0,3 = 0,525

                           Conclusion:  P( C ) = 0,525

               d. L'arbre choisi est un conifère.

                    Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H1 ? 

                        On arrondira à 10- 3   près.

                           On veutici :

                                        prbcondex1.png

                       Or :

                                  prbcause.png

                        c-à-d 

                         envprb.png

                    Conclusion: On le résultat demandé.

                2. a.Justifier que X suit une loi binomialedont on précisera les paramètres.

                       On répète 10 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli

                       dont les deux issues sont " Conifère" , " non conifère" avec 0,525

                       la probabilité de " Conifère".  X indique le nombe de "Conifère".                          

                             Conclusion: X suit donc une loi binomiale B( 10 ; 0,525 ).

                    b. Quelle est la probabilité que  l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères?

                        On arrondira à 10-3 près.

                             On veut P( X = 5 ).

                          Ainsi :

                        prbbin.png

                     Conclusion:   P( X = 5 ) ≈    0,243  

                        TI 84:            2ND   VARS    

                                        binompdf(              ENTER

                                         10 ,  0.525  , 5 )

                                                                     ENTER

                    b.Quelle est la probabilitéque cet échantillon comporte au moins deux feuillus?

                            On arrondira à 10-3 près.

                          " Avoir au moins deux feuillus " correspond à "Avoir au plus 8 conifères"

                             C'est l'événement ( X ≤ 8 ).

                          •  On peut l'avoir directement à la calculatrice:

                                   TI 84: 

                                            2ND   VARS    

                                        binomcdf(              ENTER

                                         10 ,  0.525  , 8 )

                                                                     ENTER

                                                  P( X ≤  8  ) ≈  0,984

                           •Ou bien en passant par l'événement contraire:

                                    P(  X ≤ 8 ) = 1 - P ( X > 8 ) = 1 - P( X = 9 ) - P ( X = 10 ) 

                                  pbbin.png

                                 Conclusion :

                                   P( X ≤  8  ) ≈  0,984

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