TEXTE EXERCICES BAC S 2010

                                                                  SUJET DE BAC S        Maths.     22 JUIN 2010           FRANCE

      EXERCICE 1 : ( 6 point )

                                                 Commun à tous les candidats 

          Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

        Parties A :

          On considère l'équation différentielle ( E ) :   y '  + y  = e^{- x} _.

              1)  Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels IR par u( x ) = x e^{- x}   est une

                   solution de l'équation différentielle ( E ) .

              2)  On considère l'équation différentielle ( E ' ) :  y  '  + y  = 0.  Résoudre l'équation différentielle ( E ' ) .

              3)  Soit v une fonction définie et dérivable sur IR. Montrer que la fonction v est une solution de

                    l'équation différentielle ( E ) si et seulement si la fonction v - u  est solution de l'équation

                    différentielle ( E ' ).

              4)   En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle ( E ).

              5)  Déterminer l'unique solution g de l'équation différentielle ( E ) telle que g( 0 ) = 2.

         Partie B:

             On considère la fonction f_k   définie sur l'ensemble IR des nombres réels par f_k  ( x ) = ( x + k )  e^{- x}   où k est  

             un nombre réel donné. 

             On note  C_k  la  courbe représentative de la fonction  f_k  dans  un repère orthogonal.

                 1)  Montrer que la fonction  f_k  admet un maximum en  x = 1 - k . 

                 2)  On note  M_k  le point de la courbe C_k  d'abscisse  1 - k  . Montrer que le point M_k appartient à la

                      courbe Γ d'équation y = e^{- x}   .

                 3)  Sur le graphique donné en annexe 1 ( à rendre avec la copie ), le repère est orthogonal mais l'unité

                      sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas.

                      Sur ce graphique on a tracé deux courbes:

                       •   la courbe Γ d'équation y = e^{- x}    ; 

                       •    la courbe C_k   d'équation  y = = ( x + k )  e^{- x}    pour un certain nombre réel k  donné. 

                      a) Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 ( à rendre avec la copie ).

                      b) En expliquant la démarche utilisée , déterminer la valeur du nombre réel k  correspondant ainsi

                           que l'unité graphique sur chacun des axes.

                 4)  A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale     ∫₀ ^² ( x + k )  e^{- x}  dx .  Donner

                       une interprétation graphique de cette intégrale.

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          EXERCICE 2  :  ( 5 points ) 

                                           Commun à tous les candidats

         1) Restitution organisée des connaissances.

             Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si ( u_n ) et ( v_n ) sont  deux

             suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

             Définition:    deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et la

                                   différence des deux converge vers 0.

             Définition:     si deux suites ( u_n ) et  ( v_n ) sont adjacentes avec ( u_n  ) croissante et ( v_n  ) décroissante alors,

                                     pour tout entier naturel n,   v_n   ≥  u_{n .}

             Propriété:       toute suite croissante et majorée converge; toute suite décroissante minorée converge.

            Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou initiative même non

            fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

           2) Dans les cas suivants, les suites ( u_n ) et ( v_n ) ont-elles la même limite? Sont-elles adjacentes?

               Justifier la réponse.

                a)     u_n =  1 - 10 ^{- n}          et    v_n    =  1 + 10 ^{- n}       ;

                  b)     u_n =  ln( n + 1 )         et    v_n    =  ln( n + 1 ) +  1 / n       ;

                  c)     u_n = 1 - 1 / n          et    v_n    =  1 +   ( - 1) ⁿ   /  n  .             

              3) On considère un nombre réel   a  positif et les suites ( u_n ) et  ( v_n )  définies pour tout nombre entier

                   naturel n non nul par :         u_n = 1 - 1 / n          et    v_n    = ln( a +  1 /  n ) .          

                   Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?

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          EXERCICE  3:  ( 4 points )

                                   Commun à tous les candidats

                Cet exercice est un questionnaire à choix multiples( QCM ).     

                Pour chaque question trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la

                copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si

                la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse?

             1) Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher: 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire

                  simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches  et 1 boule noire est

                  égale à:

              2)  De la même urne, on tire une boule , on note sa couleur, on la remet dans l'urne; on procède ainsi à

                    5  tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches

                    est égale à:

                    ^{•                                •                      •}      

              3) De la même urne , on tire une seule boule. Si elle est blanche on lance un dé cubique ( dont les faces

                   sont numérotées de 1 à 6 ). Si la boules est noire , on lance un dé tétraédrique ( dont les faces sont

                   numérotées de 1 à 4 ). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.

                   Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à:

              4) On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ ( étant un nombre

                  réel strictement positif ). La probabilité de l'événement [ 1 ≤ X ≤ 3 ] es égale à:

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