EXERCICE SUR LES BARYCENTRES 1S OCT 08
EX. • On considère une plaque homogène circulaire P de centre O et de rayon R.
On estime ainsi que la matière est répartie régulièrement dans toute la plaque.
Si d est la densité en gramme par cm² de la plaque P alors la masse M
de la plaque P est Π R² d en grammes. )
Le centre de gravité de la plaque est le point O.
• On décide de retirer à la plaque P un disque P' de centre O' et de rayon R' avec R' < R.
La masse m du disque P' est Π R' ² d en grammes. Son centre de gravité est O'.
• Le disque ainsi évidé T a une masse M - m = Π R² d - Π R' ² d en grammes.
Son centre de gravité est un point G.
Le disque P peut être considéré comme reconstitué à partir de l'emboîtement de T et P'.
ON ADMET AINSI QUE O est le barycentre des points pondérés :
( G , Π R² d - Π R' ² d ) et ( O' , Π R' ² d )
c-à-d des points pondérés ( G , R² - R' ² ) et ( O' , R' ² ) .
en divisant par Π d les coefficients.
1. En déduire une relation vectorielle qui permet de placer G dès que les disques P et P' sont
connues.
2. Etablir que G , le centre de gravité de la plaque évidée,
est le barycentre des points pondérés ( O, M ) et ( O' , - m ).
3. Application: R = 4 cm R' = 1 cm OO' = 2 cm
On placera O et O' comme il convient.
Placer ensuite le point G
REP. 1. On a : vect( O' O ) = ( ( R² - R' ² ) / ( R² - R' ² + R' ² ) vect( O'G )
En effet : O est le barycentre des points pondérés
( G , Π R² d - Π R' ² d ) et ( O' , Π R' ² d ).
Ainsi vect( O' O ) = ( ( R² - R' ² ) / R² ) vect( O'G ) ( 1 )
c-à-d vect( O'G ) = ( R² / ( R² - R' ² ) vect( O' O )
Cela permet de placer le point G.
2. L' égalité ( 1 ) s'écrit aussi: R² vect( O' O ) = ( R² - R' ² ) vect( O'G )
c-à-d R² ( vect( O' G ) + vect ( GO ) ) = ( R² - R' ² ) vect( O'G )
c-à-d R² vect( O' G ) + R² vect ( GO ) ) = ( R² - R' ² ) vect( O'G )
c-à-d R² vect ( GO ) ) = - R' ² vect( O'G )
c-à-d R² vect ( GO ) ) + R' ² vect( O'G ) est le vecteur nul.
c-à-d R² vect ( GO ) ) - R' ² vect( GO' ) est le vecteur nul. c-à-d G est le barycentre des points pondérés ( O , Π R² d ) et ( O' , - Π R' ² d ) .
| G est le barycentre des points pondérés ( O , R² ) et ( O' , - R' ² ) . |
| Conclusion: G est le barycentre des points pondérés ( O, M ) et ( O' , - m ) |
3. APPLICATION.
vect( O'G ) = ( 4² / ( 4² - 1 ² ) vect( O' O )
c-à-d vect( O'G ) = ( 16 / 15 ) vect( O' O )
On a: O'G = ( 16 / 1 5 ) 2 = 32 / 15