INFO EX BARYCENTRE 2
EX . 2 Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ).
Soit les points A ( - 2 ; 1 ) , B( 3 ; 1) , C( 0 ; 4 ).
Soit H le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) .
1. Donner les coordonnées du point H.
2. Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 ).
a. Donner les coordonnées du pont G.
b. On rappelle que la distance du point A au point B est :
AB =√( ( xB - xA )² + ( yB - yA )² ).
Calculer AB. c. Réduire le vecteur vect( MA ) + 3 vect( MB ) +2 vect( MC) puis donner sa norme. 3. Déterminer l'ensemble ( U ) des points M du plan tels que les vecteurs suivants soient de même norme: 6 vect( AB)
vect( MA ) + 3 vect( MB ) + 2 vect( MC ).
REP. 1. Le barycentre H des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) existe car 1 + 2 ≠ 0
On a H( - 2 / 3 ; 3 ). En effet: xG = ( 1×( - 2 ) + 2 ×( 0 ) ) / ( 1 + 2 ) = - 2 / 3 yG = ( 1×( 1 ) + 2 ×( 4 ) ) / ( 1 + 2 ) = 9 / 3 = 3
On a : H( - 2 / 3 ; 3 ).
2. a. Le point G barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 )
existe car 1 + 3 + 2 ≠ 0.
xG = ( 1×( - 2 ) +3 ( 3 ) + 2 ×( 0 ) ) / ( 1 + 3 + 2 ) = 7 / 6
yG = ( 1×( 1 ) +3 ( 1 ) + 2 ×( 4 ) ) / ( 1 + 3+ 2 ) = 12 / 6 = 2
| On a : G( 7 / 6 ; 2 ). |
b. Le vect( AB ) est de coordonnées ( 3 + 2 ; 1 - 1 ) c-à-d ( 5 ; 0 ).
| On a : AB = 5 |
c. D'après la propriété fondamentale
vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG )
Donc:
| vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG )
Sa norme est donc 6 MG. |
3. L'ensemble U est l'ensemble des points M tels que : 6 MG = 6 AB
c-à-d tels que : 6 MG = 6 × 5
c-à-d tels que : MG = 5
Donc
| U est le cercle de centre G et de rayon 5. |