INFO 3 SUR LES EX 7 ET 8 DE LA LISTE
EX. 7 1. Exprimons K comme barycentre des points A, B ,C pour des coefficients à préciser.
K est caractérisé par 4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3 vect( BC ) est le vecteur nul.
On a:
vect( AB ) = vect( AK ) + vect ( K B) = - vect( KA ) + vect( KB )
vect ( BC ) = vect ( B K ) + vect( KC ) = - vect( KB ) + vect( KC )
Donc
4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3 vect( BC ) = - 4 vect( KA ) - ( - vect( KA ) + vect( KB ) ) - 3 ( - vect( KB ) + vect( KC ) )
Ainsi : 4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3 vect( BC ) = - 3 vect( KA ) + 2 vect( KB ) - 3 vect( KC )
Or 4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3 vect( BC ) est le vecteur nul.
Ainsi - 3 vect( KA ) + 2 vect( KB ) - 3 vect( KC ) égal au vecteur nul.
c-à-d 3 vect( KA ) - 2 vect( KB ) + 3 vect( KC ) est le vecteur nul.
Comme 3 - 2 + 3 est non nul
.
K est le barycentre des points pondérés ( A , 3 ) , ( B , - 2 ) , ( C , 3 ) .
2. Montrons que K est sur la médiatrice du segment [ AC].
Soit I le milieu du segment [ AC ].
Comme le triangle ABC est équilatéral cela revient à établir que K est sur la droite ( BI ).
Or I est le barycentre des points pondérés ( A , 3 ) et ( C , 3 ).
Ainsi K est le barycentre des points pondérés ( B , - 2 ) et ( I , 6 ).
Les point K , B et I sont bien alignés.
K est sur la médiatrice du segment [ AC].
3. Trouvons la distance BK.
(BI) est une "hauteur" dans le triangle équilatéral ABC.
La distance BI dans le triangle équilatéral ABC est égale à: BI = ( a √3 ) / 2.
On a par ailleurs vect ( BK ) = ( 6 / ( - 2 + 6 ) ) vect( BI )
Donc BK = ( 6 / 4 ) BI = ( 3 / 2 ) ( a √3 ) / 2 = ( 3 a √3 ) / 4
Pour a = 3 il vient : BK = ( 9 √3 )/ 4