Correction: contrôle 3 Oct 08

   CORRECTION CONTRÔLE    3 OCT 08

 Partie A

          1. En entrant les xi   dans la première colonne

            et les ti  dans la seconde colonne la calculatrice donne:

               t = 0,00486 x + 6,13004

               r2  = 0,99698

             Donc la réponse à 10- 4   demandée est :  r2  = 0,9970

  r2  = 0,9970

   2.  • • Des deux séries ( x  , y  ) et ( x , t ) c'est ( x , t ) dont la valeur absolue du coefficient

             de corrélation est la plus grande.    0,9703 < 0,9970

            Donc pour un ajustement c'est ( x , t ) qui est la meilleure.

       •  •   Des deux séries ( x  , z ) et ( x , v  ) c'est ( x , v ) dont la valeur absolue du coefficient

              de corrélation est la plus grande.    I  - 0,9744  I  < I - 0,9905 I

          Donc pour un ajustement c'est ( x , v ) qui est la meilleure.

       3. On a déjà l'équation au début.

                        t = 0,00486 x + 6,13004

              Donc en arrondissant :   

  t = 0,0049 x + 6,1300

         On admet à présent que :   v = - 0,0033 x + 8,8581.

       4.    •  • Recherche de y en fonction de z.

                    On a:          t = ln y

                                      t = 0,0049 x + 6,1300

               Eliminons t entre les deux équations.

               Il vient:      ln y = 0,0049 x + 6,1300

                 Donc              y =  e0,0049 x + 6,1300

                         c-à-d             y = e6,1300     e0,0049 x 

                      a =  e6,1300      = 459,4361                

a = 459
    ( à 1 près )

            •  • Recherche de z en fonction de x.

                On a :             v = ln z

                                      v = - 0,0033 x + 8,8581

            De la même façon :    ln z =  - 0,0033 x + 8,8581

                   c-à-d         z = e- 0,0033 x + 8, 8581      

                                                  z =  e 8, 8581       e- 0,0033 x 

                             Ainsi       c =  e 8,8581     =    7031,1109             

     

c = 7031
   ( à 1 près )

           5.  Donnons le prix d'équilibre: x0  . 

 

                    L'offre est   y     ,   la demande est  z.

                     Imposons    y = z

                    c-à-d            459   e0,0049 x        =  7031  e- 0,0033 x 

                           c-à-d             e0,0049 x    /      e- 0,0033 x        =  7031   /   459      

                                  

                      c-à-d              0,0082 x     =   ln (7031   /   459   )

                                             x = 322,3751  euros     est le prix d'équilibre

       x0 = 322,3751  euros

 

               Partie B.

                 1. Variation de la fonction demande k : x → 7031 e- ( 1 / 300 ) x 

                      k' : x → - (7031   /   300)  e- ( 1 / 300 ) x 

                     k' < 0   sur   IR+  . 

                          k est strictement décroissante sur  IR+                                      

                       Plus le prix est élevé moins il y a de demande.

                 2. Etudions le cas où     k( x ) < 500  ,c-à-d le cas où il y a abandon .

                                           7031    e- ( 1 / 300 ) x        <  500

                        c-à-d                   e- ( 1 / 300 ) x        <  500   /   7031

                       s'écrit     - ( 1 / 300 )x < ln ( 500 / 7031 )

                        c-à-d        - x <  300 ln ( 500   / 7031 )

                       c-à-d        x > - 300 ln ( 500 / 7031 )

                                        x > 793,0428

                      Pour un prix de 793 euros il y a abandon.   

                 3. Calcul de la recette de la semaine quand toutes les demandes sont satisfaites:

                 La recette est :  g(x) = x k( x) en euros.

                 Donc  on obtient     g( x ) = x  7031 e- ( 1 / 300 ) x