EXERCICES SUR LE CALCUL INTEGRAL TS MAI 2011
EXERCICE 1
1. Cherchons deux réels A et B tels que :
1 / [ t ( 1 + t ) ] = A / t + B / (1 + t ) pour tout t > 0.
Soit t > 0. On fait une réduction au même dénominateur:
On a : A / t + B / (1 + t ) = [ A ( 1 + t ) + B t ] / [ t ( 1 + t ) ]
c-à-d A / t + B / (1 + t ) = [ A ( 1 + t ) + B t ] / [ t ( 1 + t ) ]
c-à-d A / t + B / (1 + t ) = [ (A + B ) t + A ] / [ t ( 1 + t ) ]
Considérons ( 0 t + 1 ) / [ t ( 1 + t ) ] = [ (A + B ) t + A ] / [ t ( 1 + t ) ] pour tout t > 0
Par identification des numérateurs il vient :
1 = A
0 = A + B
Conclusion : A = 1 et B = - 1
Donc 1 / [ t ( 1 + t ) ] = 1 / t - 1 / (1 + t ) pour tout t > 0.
2. a. Calculons l'intégrale J = ∫1 2 1 / [ t ( 1 + t ) ] dt .
• J existe car la fonction rationnelle f : t → 1 / [ t ( 1 + t ) ]
est définie et continue sur l'intervalle [ 1 , 2 ].
• Mais on a vu que f : t → 1 / t - 1 / (1 + t )
d'après la question 1.
Donc on a : J = ∫1 2 ( 1/ t - 1 / ( 1 + t ) ) dt
La fonction F : t → ln( t ) - ln( 1 + t ) est une primitive de la fonction
f : t → 1 / t - 1 / (1 + t ) sur l'intervalle [ 1 , 2 ].
Ainsi : J = [ ln( t ) - ln( 1 + t ) ] 1 2
c-à-d J = [ ln( t / ( 1 + t ) ) ] 1 2
c-à-d J = ln ( 2 / 3 ) - ln ( 1 / 2 ) = ln (( 2 / 3 ) ( 2 / 1 ) ) = ln ( 4 / 3 )
Conclusion : J = ln ( 4 / 3 ) environ 0,2877
b. Calculons l'intégrale I = ∫1 2 ( ln( 1 + t ) / t² ) dt .
• I existe car la fonction g : t → ln( 1 + t ) / t² est définie et continue sur l'intervalle [ 1 , 2 ]
comme produit de telles fonctions: t → ln( 1 + t ) et t → 1/ t² .
• Soit la fonction u : t → ln( 1 + t )
La fonction u : t → ln( 1 + t ) est définie et dérivable dans l'intervalle [ 1 , 2 ].
On a : u ' : t → 1 / (1 + t )
La fonction u ' est définie et continue dans l'intervalle [ 1 , 2 ].
Soit la fonction v ' : t → 1 / t ²
v ' est définie et continue dans l'intervalle [ 1 , 2 ]
Prenons la fonction v : t → - 1 / t
La fonction v est définie et dérivable dans l'intervalle [ 1 , 2 ].
Nous pouvons procéder à une intégration par parties.
I = ∫1 2 [ ln( 1 + t ) × ( 1 / t² ) ] dt = ∫1 2 u( t ) v ' ( t ) dt = [ u(t ) v( t ) ]1 2 - ∫1 2 u ' ( t ) v ( t ) dt
Donc I = [ ln(1 + t ) ( - 1 / t ) ) ]1 2 - ∫1 2 ( 1/ ( 1 + t ) )( - 1 / t ) dt = - 0, 5 ln( 3 ) + ln( 2 ) + ∫1 2 ( 1/ ( t ( 1 + t ) )dt
c-à-d I = - 0, 5 ln( 3 ) + ln( 2 ) + J
Conclusion : I = - 0, 5 ln( 3 ) + ln( 2 ) + ln( 4 / 3 ) = ln( 8 ) - 1 , 5 ln ( 3 ) environ 0,4315