INFO EXERCICE 2 CALCUL INTEGRAL 20 MAI 2011
EXERCICE 2
Soit un = ∫n n + 1 ( x + 1 ) e- x dx où n est dans IN .
1. Justifions l'existence de un .
La fonction f: x → ( x + 1 ) e- x est définie et continue sur l'intervalle [ n , n + 1 ]
comme produit de telles fonctions.
Donc l'intégrale ∫n n + 1 ( x + 1 ) e- x dx existe pour tout n dans IN.
Conclusion : un existe pour tout n dans IN.
2. Trouvons un en fonction de n.
Soit la fonction affine w : x → x + 1
La fonction w : x → x + 1 est définie et dérivable dans IR.
On a w ' : x → 1
La fonction w ' est définie et continue dans IR.
Soit la fonction v ' : x → e- x
La fonction v ' est définie et continue dans IR.
Prenons v : x → - e- x
La fonction v est définie et dérivable dans IR.
Donc on peut procéder à une intégration par parties.
un = ∫n n + 1 w( x ) v '( x ) dx = [ w( x ) v( x ) ] n n + 1 - ∫n n + 1 w ' ( x ) v( x ) dx
c-à-d
un = ∫n n + 1 ( x + 1 ) e- x dx = [ ( x + 1 ) ( - e- x )] n n + 1 - ∫n n + 1 1 ( - e- x ) dx
c-à-d
un = - ( n + 2 ) e- n - 1 + ( n + 1 ) e- n + ∫n n + 1 e- x dx
c-à-d un = - ( n + 2 ) e- n - 1 + ( n + 1 ) e- n + [ - e- x ] n n + 1
c-à-d un = - ( n + 2 ) e- n - 1 + ( n + 1 ) e- n - e- n - 1 + e- n
c-à-d un = e- n [ - ( n + 2 ) e - 1 + ( n + 1 ) - e - 1 + 1]
Conclusion : un = e- n ( - ( n + 3 ) e - 1 + ( n + 2 ) )
3. Etudions la convergence de la suite ( u )
On a : un = e- n [ - ( n + 3 ) e - 1 + ( n + 2 ) ]
c-à-d un = - n e- n e - 1 - 3 e - 1 e- n + n e- n + 2 e- n
Or lim - n e- n = lim x ex = 0
n → + ∞ x→ - ∞
et lim e- n = lim ex = 0
n → + ∞ x→ - ∞
Ainsi lim ( - n e- n e - 1 - 3 e - 1 e- n + n e- n + 2 e- n ) = 0
n → + ∞
Conclusion : lim un = 0
n → + ∞
La suite ( u ) converge vers 0.
4. Soit Sn = u0 + ............... + un
Trouvons Sn en fonction de n.
On a : Sn = ∫0 1 ( x + 1 ) e- x dx + ∫1 2 ( x + 1 ) e- x dx +.... + ∫n n + 1 ( x + 1 ) e- x dx
Donc Sn = ∫0 n + 1 ( x + 1 ) e- x dx
En utilisant une intégration par parties comme à la question 2. avec comme bornes 0 et n + 1
on obtient :
Sn = [ ( x + 1 ) ( - e- x )] 0 n + 1 + [ - e- x ]0 n + 1
c-à-d Sn = - ( n + 2 ) e- n - 1 + 1 - e- n - 1 + 1
c-à-d Sn = - ( n + 3 ) e- n - 1 + 2
Conclusion : Sn = - ( n + 3 ) e- n - 1 + 2
c-à-d Sn = - n e- n e- 1 - 3 e- n e- 1 + 2
Or lim - n e- n = lim x ex = 0
n → + ∞ x→ - ∞
et lim e- n = lim ex = 0
n → + ∞ x→ - ∞
Il est clair que lim ( - n e- n e- 1 - 3 e- n e- 1 + 2 ) = 2
n → + ∞
Conclusion : lim Sn = 2
n→ + ∞
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