NOM: ................. PRENOM: ......................... CLASSE: TS DATE : 11 mai 2011
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O , vect( i ) , vect( j ) ).
Unité graphique : 1 cm
• Calculer l'intégrale I = ∫1 e ( 1 / √x ) dx .
Elle existe car la fonction f : x → 1 / √x est définie et continue dans l'intervalle [ 1 , e ].
La fonction f admet la fonction F : x → 2 √x comme primitive sur l'intervalle [ 1 , e ].
Ainsi: I = [ 2√x ]1 e
Conclusion : I = 2 √e - 2
• Comment peut - on interpréter I ?
La fonction f : x → 1 / √x est définie , continue et positive dans l'intervalle [ 1 , e ].
Donc ∫1 e ( 1 / √x ) dx est l'aire du domaine sous la courbe de f sur l'intervalle [ 1 , e ] en u.a
c-à-d ici en cm2 .
Conclusion : I est l'aire du domaine sous la courbe de la fonction x → 1 / √x en cm2 .
• On fait tourner autour de l'axe des abscisses le domaine D , ensemble des points M ( x , y )
du plan tels que 1 ≤ x ≤ e et 0 ≤ y ≤ 1 / √x .
Trouver le volume V du solide ainsi engendré, en cm3 .
Comme la fonction f : x → 1 / √x est définie , continue et positive dans l'intervalle [ 1 , e ]
le volume du solide révolution engendré par le domaine sous la courbe sur [ 1 , e ]
est : V = ∫1 e π ( 1 / √x )2 dx en u . v c-à-d en cm3
Ainsi : V = π ∫1 e ( 1 / x ) dx cm3
c-à-d V = π [ ln( x ) ]1 e cm3
c-à-d V = π ( ln( e ) - ln( 1 ) ) = π ( 1 - 0 ) = π cm3
Conclusion : V = π cm3
• Soit l'intégrale K = ∫0 π x sin( x ) dx
• • Montrer sans calculer K que : - π2 / 2 ≤ K ≤ π2 / 2
On sait que - 1 ≤ sin x ≤ 1 pour tout x dans [ 0 , π ].
Donc - x ≤ x sin x ≤ x pour tout x dans [ 0 , π ].
Mais les trois fonctions x → - x , x → x sinx , x → x sont
définie , continues sur l'intervalle [ 0 , π ].
D'où
∫0 π - x dx ≤ ∫0 π x sin( x ) dx ≤ ∫0 π x dx
c-à-d
[ - (1/ 2 ) x2 ] 0 π ≤ K ≤ [ (1/ 2 ) x2 ] 0 π
c-à-d
Conclusion : On a - (1/ 2 ) π2 ≤ K ≤ (1/ 2 ) π2
• • A l'aide d'une intégration par parties
Calculer l'intégrale K.
Soit les fonction u : x → x et v ' : x → sin x
v ' est donc définie et continue dans l'intervalle [ 0 , π ].
u est définie et dérivable sur l'intervalle [ 0 , π ].
Ainsi : u ' : x → 1
u' est donc définie et continue dans l'intervalle [ 0 , π ].
Considérons v : x → - cos x
v est définie et dérivable dans l' intervalle [ 0 , π ]
Nous pouvons procéder à une intégration par parties.
On a : ∫0 π u( x ) v' ( x ) dx = [ u( x ) v( x ) ] 0 π - ∫0 π u' ( x ) v(x ) dx
Cela donne :
K = [ x ( - cos x ) ] 0 π - ∫0 π 1 ( - cos x ) dx
c-à-d K = π ( - cos π ) - 0 - [ - sin x ] 0 π
c-à-d K = π - ( - sin π + sin 0 ) = π
Conclusion : On a K = π
• Soit la suite d'intégrales : Jn = ∫ 0 1 xn ex dx
pour tout entier naturel non nul n.
• • Pourquoi Jn ≥ 0 pour tout entier naturel non nul n ?
La fonction sous le symbole intégral à savoir x → xn ex
est définie , continue et positive sur l'intervalle [ 0 , 1 ] pour tout entier non nul n.
Donc l'intégrale Jn = ∫ 0 1 xn ex dx est un réel positif.
( on peut l'interpréter comme une aire sous la courbe en u.a )
Conclusion : On a Jn ≥ 0 pour tout entier naturel non nul n
• • A l'aide d'une intégration par parties montrer que:
J n + 1 = e - ( n + 1 ) J n
On a Jn + 1 = ∫ 0 1 xn + 1 ex dx
Soit n un entier naturel non nul.
Soit les fonctions u : x → xn + 1 et v ' : x → ex
v ' est définie et continue dans l'intervalle [ 0 , 1 ].
u est définie et dérivable dans l'intervalle [ 0 , 1 ].
On a : u ' : x → ( n + 1 ) xn
u ' est définie et continue dans l'intervalle [ 0 , 1 ].
Considérons v : x → ex
v est définie et dérivable dans l'intervalle [ 0 , 1 ]
Donc on peut procéder à une intégration par parties.
On a : ∫0 1 u( x ) v' ( x ) dx = [ u( x ) v( x ) ] 0 1 - ∫0 1 u' ( x ) v(x ) dx
Cela donne :
Jn + 1 = [ xn + 1 ex ] 0 1 - ∫0 1 ( n + 1 ) xn ex dx
c-à-d Jn + 1 = e1 - 0 - ( n + 1 ) ∫0 1 xn ex dx
Conclusion : On a l'égalité Jn+1 = e - ( n + 1 ) Jn
• • On admet que J1 = 1
Calculer J2
Ona pour n = 1 Jn + 1 = J2
et e - ( n + 1 ) Jn = e - 2 J1
Comme J1 = 1 il vient : e - ( n + 1 ) Jn = e - 2
Ainsi l'égalité Jn+1 = e - ( n + 1 ) Jn
devient : J2 = e - 2
Conclusion : On a J2 = e - 2