DS n° 6 Samedi 11 février 2012 1ES-L
Nom: .................. Prénom : ..................... Date: ........ Classe : ...................
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• Soit la fonction f : x → ( 2 x - 3 ) / ( x + 2) . Donner Df , Dd , f ' . Donner le sens de variation de f .
f est une fonction rationnelle définie dans IR-{ - 2 }.
f est donc dérivable dans IR- { - 2 }.
Ainsi :
Conclusion : Df = Dd = IR-{ - 2 }.
f = u / v avec u : x → 2 x - 3 et v → x + 2
Les deux u et v sont définies et dérivables dans IR et v est non nulle dans IR-{ - 2 }
On a u : x → 2 v ' : x → 1
f ' = ( u / v )' = ( v u ' - u v ' ) / v
Soit x dans IR - { - 2 }
f '( x ) = [ ( x + 2 ) × 2 - ( 2x - 3 ) × 1 ] / ( x + 2 )2
c-à-d
f '( x ) = [ 2x + 4 - 2 x + 3 × 1 ] / ( x + 2 )2
c-à-d
f '( x ) = 7 / ( x + 2 )2
Donc:
Conclusion : f ' : x → 7 / ( x + 2 )2
On a : 7 / ( x + 2 )2 > 0 pour tout x dans IR - { - 2 }
Conclusion : f est strictement croissante IR - { - 2 }
• Soit la fonction g : x → x2 / ( 2 x + 1 ) Donner Dg , Dd , g ' . Donner le sens de variation de g .
g est une fonction rationnelle définie dans IR-{ - 1 / 2 }.
g est donc dérivable dans IR- { - 1 / 2 }.
Ainsi :
Conclusion : Dg = Dd = IR - { - 1/ 2 }
On a : g = u / v avec u : x → x2 v : x → 2 x+ 1
les fonctions u et v sont definies et dérivables dans IR - { -1/2 } et
v y est non nulle .
g ' = ( u / v )' = ( v u ' - u v ' ) / v
avec u ' : x → 2 x et v ' : x → 2
Soit x dans IR - { -1 /2 }
g ' ( x ) =[ ( 2x+1 )×2 x - x2 ×2 ] / ( 2x+1 )2
c-à_d
g '( x ) = ( 4 x2 + 2 x - 2 x2 ) / ( 2x+1 )2
c-à-d
g '( x ) = ( 2 x2 + 2 x ) / ( 2x+1 )2
c-à-d en factorisant 2 x au numérateur
g' ( x ) = 2 x ( x+1 ) / ( 2x+1 )2
Conclusion : g' : x → 2 x ( x+1 ) / ( 2x+1 )2 dans IR - {- 1 /2 }
Ainsi g'( x ) dans IR - { -1 /2 } est du signe de x ( x + 1 )
qui s'annule en x = o et en x = - 1.
Ainsi:
| x | - ∞ -1 - 1 / 2 0 + ∞ |
| g '( x ) | + 0 - || - 0 + |
| g(x) | ↑ -1 ↓ || ↓ 0 ↑ |
Ainsi:
• Soit la fonction h : x → 3x2 - 6 x + 1 Donner Dh , Dd , h ' . Donner le sens de variation de h .
h est une fonction trinôme du second degré.
h : x → ax2 +b x + c avec a = 3 b = - 6 c = 1
Rien qu'en voyant a > 0 on sait comment la parabole est disposée.
On a directement :
Conclusion : Dh = Dd = IR h ' : x→ 6 x - 6
Soit x dans IR.
h '( x ) = 6 ( x - 1 )
Donc h'( x ) est du signe de x - 1 pour tout x dans IR.
| x | -∞ 1 + ∞ |
| h '( x ) | - 0 + |
| h( x ) | ↓ - 2 ↓ |
• Soit la fonction k : x → 1/( x2+ x + 1 ) . Donner Dk , Dd , k ' . Donner le sens de variation de k .
Le discriminant de x2+ x + 1 est Δ = - 3 Donc Δ < 0
Ainsi x2+ x + 1 ≠ 0 pour tout x dans IR
Donc .
Dk = Dd = IR
Soit la fonction v : x → x2+ x + 1
v est définie , dérivable et non nulle dans IR.
k = 1 / v
Donc k est dérivable dans IR et l'on a
k ' = ( 1 / v ) ' = - v ' / v
Ici v ' : x → 2 x+ 1
D'où k ' : x