DEVOIR MAISON 1 ES - L Samedi 2 dédembre 2011
EXERCICE 1
Trouver la fonction dérivée de la fonction
f : x → x + 1 / ( x + 1 )
( Dans ce cas Df et Dd seront indiqués )
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Réponse :
Soit les fonctions u : x → x et v : x → x + 1
On a: f = u + 1 / v
La fontion affine u est définie et dérivable dans IR.
La fonction v est définie , dérivable et non nulle dans IR - { -1 }
Donc la fonction u + 1 / v est définie sur IR - { - 1 }.
De plus on a : f ' = ( u + 1 / v ) ' = u ' - v ' / v2
Or : u ' : x → 1 et v ' : x → 1
f ' : x → 1 - 1 / ( x + 1 )2
Conclusion : Df = IR - { -1 } Dd = IR - { - 1 }
f ' : x → 1 - 1 / ( x + 1 )2
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EXERCICE 2
Donner la fonctions dérivée de la fonction g : x → 12 - 3 x2
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Réponse: g : x → 12 - 3 x2
g est une fonction polynôme .
Elle est donc définie et dérivable sur IR .
Ainsi: g ' : x → 0 - 3 × 2 x2-1
c-à-d g ' : x → - 3 × 2 x
g ' : x → - 6 x
Conclusion : Dg = IR Dd = IR g ' : x → - 6 x
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EXERCICE 3
Soit la fonction polynôme d'expression
k( x ) = 5 x3 - 2 x2 + 3 x - 2
Donner la fonction dérivée k ' de k .
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Réponse:
Comme fonction polynôme, la fonction k est définie et dérivable dans IR.
Directement on peut écrire:
k ' : x → 5 × ( 3x3-1 ) - 2 × ( 2 x2-1 ) + 3
c-à-d k ' : x → 15 x2 - 4 x + 3
Conclusion: Dk = IR Dg = IR k ' : x →15 x2 - 4 x + 3
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EXERCICE 4
Soit la fonction d'expression f( x ) = ( x - 1 ) / ( x + 1)
Donner sa fonction dérivée f '.
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Réponse: On a pour tout x dans IR - { - 1 }:
f( x ) = ( x - 1 ) / ( x + 1) = ( x + 1 - 1 -1 ) / ( x + 1)
c-à-d f( x ) = ( x + 1 - 2 ) / ( x + 1 )
c-à-d f( x ) =( x + 1 ) / ( x + 1 ) - 2 / ( x + 1 )
c-à-d f( x ) = 1 - 2 / ( x + 1 )
Soit la fonction v : x → x + 1
On a: f = 1 - 2 / v = 1 - 2 × ( 1 / v )
Comme la fonction v est définie , non nulle et dérivable IR - { - 1 }
f est bien définie et dérivable sur IR - { - 1 }.
De plus : v ' : x → 1
On a f ' = - ( - 2 v ' / v 2 )
Soit x dans IR - {- 1 }
f '( x ) = 2 / ( x + 1 )2
Conclusion : f ' : x → 2 / ( x + 1 )2
Df = IR - { - 1 } Dd = IR - { - 1 }
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EXERCICE 5
Donner la fonction dérivée de la fonction
f : x → ( 4 x + 1 ) / ( 3 - x )
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Réponse: f est une fonction rationnelle définie dans IR - { 3 }.
A ce tître on pourrait déjà dire qu'elle est dérivable dans IR - { 3 }.
Soit les fonctions affines :
u : x → 4 x + 1
v : x → 3 - x
Les fonctions u et v sont définies et dérivables sur IR - { 3 } et
v est non nulle sur IR - { 3 }.
On a : f = u / v
Donc la fonction f est définie et dérivable dans IR - { 3 }.
On a : f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v 2
Ici : u ' : x → 4
v ' : x → - 1
Soit x dans IR - { 3 }.
f ' ( x ) = ( ( 3 - x ) × 4 - ( 4 x + 1 ) ×( - 1 ) ) / ( 3 - x )2
c-à-d
f ' ( x ) = ( 12 - 4 x + 4 x + 1 ) / ( 3 - x )2
c-à-d
f ' ( x ) = 13 / ( 3 - x )2
Conclusion : f ' : x → 13 / ( 3 - x )2
Df = Dd = R - { 3 }
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