INFO Devoir maison 1 ES - L samedi 12 novembre 2011
EXERCICE n ° 143 p 77
Un capital de 10 00 € est placé au taux t % pendant un an .
L'intérêt estcapitalisé et le nouveau capital est placé l'année
suivante au taux de ( t + 1 ) %.
En fin de deuxième année, le capital s'élève à 11 130 €.
1. Montrer que t est solution de l'équation :
( 100 + t ) ( 101 + t ) = 11130
2. En déduire la valeur de t.
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Réponse :
1. Montrons que t est solution de l'équation :
( 100 + t ) ( 101 + t ) = 11130
Le cœfficient multiplicateur la première année est 1 + t % .
Le cœfficient multiplicateur la deuxième année est 1 + ( 1 + t )% .
Ainsi le cœfficient pour les deux années est ( 1 + t % ) ( 1 + ( 1 + t )% ) .
Le capital placé au départ est 10 000 € .
Au bout de deux ans il est de 11130 € .
Donc 10 000( 1 + t % ) ( 1 + ( 1 + t )% ) = 11130
c-à-d 10 000 [( 100 + t ) / 100 ] [ ( 100 + 1 + t ) / 100 ] = 11130
c-à-d ( 100 + t ) ( 101+ t ) = 11130
Conclusion : On a bien le résultat demandé.
2. Déduisons la la valeur de t.
L'équation précédente est t2 + 201 t +10100 -11130 = 0
c-à-d t2 + 201 t - 1030 = 0
On a : Δ = 2012 + 4× 1030 = 44521 = 2112
Les racines sont :
( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 201 - 211 ) / 2 = - 412 / 2 = - 206 Refusée
et ( - b + √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 201 + 211 ) / 2 = 10 / 2 = 5 Accepté
Conclusion : On a t % qui est 5 %
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EXERCICE n° 144 page 77 .
Une chaîne d'hôtels désire orienter ses investissements: elle
réalise une analyse sur le bénéfice B( x ) de chaque hôtel, en
fonction du taux d'occupation des chambres x exprimé en pourcentage .
Pour x dans l'intervalle [ 20 ; 90 ] on a :
B( x ) = - x2 + 160 x + c.
1. Calculer de c sachant que pour un
taux d'occupation de 40% le bénéfice est de 900€.
Réponse:
ATTENTION:
Le morceau de phrase" taux d'occupation des chambres x exprimé en pourcentage"
est très maladroit.
En effet, ici il fallait comprendre que le taux d'occupation est x%.
Ainsi un taux d'occupation de 40% correspond à x = 40.
On a : B( x) = - x2 + 160 x + c
et B( x ) = 900 quand x = 40
Donc - 402 + 160 × 40 + c = 900
c-à-d c = 900 + 402 - 160 × 40 = - 3900
Conclusion : c = - 3900
2. Dresser le tableau de variation .de la fonction B.
En déduire la valeur de x pour laquelle le bénéfice est maximal .
Quel est le bénéfice maximal que peut espérer réaliser cette
chaîne hôtelière ?
Réponse:
Par hypothèse x est dans l'intervalle [ 20 ; 90 ]
- b / ( 2 a ) = - 160 / ( - 2 ) = 80
B( 8 0 ) = 2500 €
Δ = 1602 - 4 ( - 1 ) × (-3900)
Δ = 10 000
- Δ / ( 4 a ) = -10 000 / ( - 4 ) = 2500
Comme a <0 on a directement le tableau d'après le cours.
| x | 20 80 90 |
| B( x ) | ↑ 2500 ↓ |
La valeur de x pour un bénéfice maximal est : 80
Cela corespond à un taux de 80 %
Le bénéfice maximal est : 2500 €
Le bénéfice maximal espéré est donc 2500 €
3. Donner le seuil de rentabilité c'est-à-dire le taux x
pour lequel le bénéfice est nul.
c-à-d
Donner le taux x pour que B( x ) = 0
Réponse:
Considérons - x2 + 160 x - 3900 = 0
Δ = 10000 Δ > 0
Les racines sont :
( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 160 - 100 ) / ( - 2 ) ≈ 130
( - b + √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 160 + 100 ) / ( - 2 ) ≈ 30
Mais x est dans l'intervalle [ 20 ; 90 ].
Conclusion : Le seuil de rentabilité est donc 30 %