INFO Samedi 12 septembre 2009 1 ES Leçon : Systèmes linéaires.
EXERCICE 22
Résoudre dans IR3 le système suivant :
x + 3 y + z = 8 L1
4 x - 3 y + 3 z = 1 L2
5 x + 2 y - 3 z = 6 L3
Réponse .
Méthode par triangularisation ( Méthode du pivot de GAUSS . )
Le système s'écrit plus simplement :
| / | 1 | 3 | 1 | | 8 | \ |
| | | 4 | -3 | 3 | | 1 | | |
| \ | 5 | 2 | -3 | | 6 | / |
Le pivot est 1.
L2 ← L2 - 4 L1
L3 ← L3 - 5 L1
On obtient le système équivalent suivant:
| / | 1 | 3 | 1 | | 8 | \ |
| | | 0 | -15 | -1 | | -31 | | |
| \ | 0 | -13 | -8 | | -34 | / |
On change l'ordre des inconnues car - 1 est plus intéressant que - 15.
L'ordre sera x , z , y.
On obtient:
| / | 1 | 1 | 3 | | 8 | \ |
| | | 0 | -1 | -15 | | -31 | | |
| \ | 0 | -8 | -13 | | -34 | / |
Puis L2 ← - L2
| / | 1 | 1 | 3 | | 8 | \ |
| | | 0 | 1 | 15 | | 31 | | |
| \ | 0 | -8 | -13 | | -34 | / |
1 est le second pivot.
L3 ← L3 + 8 L2
On obtient :
| / | 1 | 1 | 3 | | 8 | \ |
| | | 0 | 1 | 15 | | 31 | | |
| \ | 0 | 0 | 107 | | 214 | / |
L3 donne 107 y = 214
Donc y = 2
Puis L2 donne
z + 15 y = 31
Donc z = 31 - 15 y = 31 - 30 = 1
z = 1
Enfin L1 donne x + z + 3 y = 8
Donc x = - z - 3 y + 8 = - 1 - 6 + 8 = 1
x = 1
Conclusion : S = { ( 1 ; 2 ; 1 ) }