INFO DS 1ES 29 MAI 2010

                          INFO    Devoir surveillé                 1ES            29 mai 2010

                    EXERECICE 1 

                                    Soit la courbe ( C ) ci-dessous de la fonction f dérivable sur

                                    les intervalles  de son domaine de définition.. 

                                ( La courbe de la fonction f comporte deux branches ici en bleu. )

                         1. a. Donner le domaine de définition de f .

                                La courbe de f  sur le graphique ne comporte que

                                des points dont les abscisses  sont différentes de - 1 .

                                Donc:

                                            Conclusion:   D_f     = IR - { -1 }

                             b. Par lecture graphique donner le sens de variation de  f.

                                    En regardant le graphique on voit que:

                                  La courbe de f  descend sur les intervalles  ] - ∞ , - 2 ]  et [ 0 , + ∞  [ .

                                 De plus la courbe de f monte sur les intervalles [ - 2 , - 1 [  et ] - 1 , 0 ].

                                  Donc :

            Conclusion :  f est décroissante strictement sur les intervalles   ] - ∞ , - 2 ]  et [ 0 , +  ∞  [  

                                  f est croissante strictement sur les intervalles [ - 2 , - 1 [  et ] - 1 , 0 ].

                                  On peut aussi proposer un tableau de variation réduit :                                

                              2. Quelles sont les asymptotes de la courbe ( C ) ? On en donnera les équations.

                             ¤¤   En - ∞  comme en   +  ∞ on voit que la courbe de f  se rapproche

                                  sans cesse de la droite oblique d'équation y = - x + 2.

                                 La droite D: y =- x + 2 est donc une asymptote oblique à la courbe

                                 de f en  - ∞  et  en   +  ∞.

                               ¤¤     Au voisinage de - 1 à  gauche et à droite  on voit que la courbe de f

                                 se rapproche sans cesse de la droite verticale d'équation  x = - 1  en s'échappant vers

                                le haut ou vers le bas.

           Conclusion :    Les deux asymptotes de la courbe de f sont les droites

                                  d'équations  y = - x + 2 et x = - 1    

                                3. Que peut-on dire de f '( 0 ) et f '( - 2 ) ?

                                      On voit que les tangentes à la courbe ( C ) aux points d'abscisses  - 2 et 0

                                     sont horizontales.

                                     On sait que f est dérivable sur son domaine de définition.

                                     Les nombres dérivés de f en - 2 et 0 sont donc nuls.

                Conclusion :   f '( - 2 ) = 0   et    f ' ( 0 ) = 0

                         4. Donner les limites suivantes.

                                   lim f( x )                     et                     lim f( x )              

                                    x→ + ∞                                           x→ - 1⁺    

                          On voit que que la courbe de f  "plonge tou t en bas " au voisinage de  +  ∞.

                          On voit que que la courbe de f  "monte  tout en haut "  au voisinage - 1 à droite

                           Conclusion :                                                                                         

                                    lim f( x )  =    - ∞                  et                     lim f( x )  =   + ∞            

                                              x→ + ∞                                                        x→ - 1⁺    

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         EXERCICE 2

                             Soit la fonction g : x → ( - x² + x + 1 ) / ( x + 1 ) définie dans IR -  { - 1 }.

                             Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                        1. Trouver g '( x ) l' expression de la fonction dérivée de g.

                            •   g est une fonction rationnelle définie sur IR -  { - 1 }.

                                 Elle y est donc dérivable.

                            • Soit les fonctions  polynômes   u : x →  - x² + x + 1   et    v : x →  x + 1.

                               u et v sont définies et dérivables dans IR.  v est non nulle dans IR -  { - 1 }.

                               On a :  g = u / v

                               Ainsi:     g ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v' ) / v²

                               Mais    u : x →  - 2 x + 1   et    v : x →   1.

                              Soit x dans IR -  { - 1 }.

                               On déduit que:

                                            g '( x ) = [  ( x + 1 ) (  - 2 x + 1 ) - (  - x² + x + 1  ) 1 ]  / ( x + 1 )²

                           c-à-d         g ' ( x ) = [  x + 1 -  2 x² - 2 x  + x² - x - 1 ] /  ( x + 1)²

                           c-à-d         g ' ( x ) = [  x   + 1 -  2 x² - 2 x  + x² - x   - 1 ] /  ( x + 1)² 

                           c-à-d        g ' ( x ) = [ - x² - 2 x ]  / ( x + 1 )²

                           c-à-d         g ' ( x ) = - x ( x + 2 )  /  ( x + 1 )²

                        Conclusion:      g ' ( x )  = - x ( x + 2 ) / ( x +1 )²    pour tout x dans IR - { - 1 }

                 2. Donner le sens de variation de la fonction g.

                     • On a:    ( x + 1 )² > 0      pour tout x dans IR - { - 1 }.

                        Donc:

                               g ' ( x ) est du signe de - x ( x + 2 ) pour tout x dans IR - { - 1 }.

                     Mais on a un trinome du second degré déjà factorisé dont les racines sont  - 2 et 0

                    avec a = - 1.    La règle des signes d'un trinome du second degré permet de dire:                   

                      On peut donc donner le sens de variation à l'aide du trableau de variation:                             

                 On peut constater qu'il correspond aussi à celui de la fonction f de l'exercice 1.

                 3. Trouver trois réels a , b , c tels que :

                        g( x ) = a x + b + c /  ( x + 1 )

                     pour tout réel x distinct de - 1 .    

                    Méthode possible, la division:   ( Elle n'est pas obligatoire.)                            

                         Ainsi :     - x² + x + 1 = ( x + 1 ) ( - x + 2 ) - 1

                         Donc         ( - x² + x + 1) / ( x + 1 ) = - x + 2   - 1 / ( x + 1 )   quand x distinct de - 1.

                       Ona  :            g( x ) =  - x + 2   - 1 / ( x + 1 )   quand x distinct de - 1.

              Conclusion:     a = - 1        b = 2     c = - 1 

                4. Montrer que la courbe de la fonction g admet une

                   asymptote oblique D en   +  ∞  que l'on déterminera.

                    On a pour tout x dans IR - { - 1 }

                           g( x ) = - x + 2  -  1 / ( x + 1 )

                    c-à-d

                           g( x ) - ( - x + 2 ) = - 1 / ( x + 1 )

                    On a :          lim ( - 1 / ( x + 1 ) ) = -  1 /  (   +  ∞ )   = 0

                                        x →      +  ∞ 

                   c-à-d           lim   g( x ) - ( - x + 2 ) = 0 

                                     x →  +  ∞ 

            Conclusion:    La droite oblique D : y =- x + 2 est une asymptote

                                  à la courbe de  la fonction g en   +  ∞ .