INFO DS 6 AVRIL 2010 1 ES

∞ INFO DEVOIR SURVEILLE 1ES Mardi 6 avril 2010

EXERCICE 1.

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

Soit ( C ) la courbe de f.

Soit la fonction f : x → ( x² - 2x ) / ( x² - 4 x + 3 )

1. Trouver le domaine de définition de f.

Réponse:

D_f = { x dans IR / x² - 4 x + 3 ≠ 0 }

Résolvons pour cela l'équation x² - 4 x + 3 = 0

x² - 4 x + 3 = 0 admet une racine évidente qui est 1.

En effet : 1 - 4 + 3 = 0

L'autre racine est donc le produit des racines à savoir

c / a = 3 / 1 = 3

Les valeurs 1 et 3 sont donc à interdire.

Conclusion : D_f = IR - { 1 ; 3 }

2. Montrer que f ' : x → 2 ( - x² + 3 x - 3 ) / ( x² - 4 x + 3 )²

Réponse:

Soit les fonctions polynômes u : x→ x² - 2x et v : x→ x² - 4 x + 3 .

u et v sont définies et dérivables dans IR - { 1 ; 3 } .

v est non nulle dans IR - { 1 ; 3 } .

f = u / v

Donc la fonction f est définie et dérivable dans IR - { 1 ; 3 } .

De plus on a :

f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v²

On a: u ' : x → 2 x - 2

v ' : x → 2 x - 4

Soit x dans IR - { 1 ; 3 } .

On a :

f '( x ) = [ ( x² - 4 x + 3 ) ( 2 x - 2 ) - ( x² - 2x ) ( 2 x - 4 ) ] / ( x² - 4 x + 3 )²

c-à-d en factorisant 2

f '( x ) = 2 [ ( x² - 4 x + 3 ) ( x - 1 ) - ( x² - 2x ) ( x - 2 ) ] / ( x² - 4 x + 3 )²

c-à-d

f '( x ) = 2 [ x³- 4 x²+ 3 x - x² + 4 x - 3 - ( x³- 2 x² - 2 x² + 4x ] / ( x² - 4 x + 3 )²

c-à-d

f '( x ) = 2 [ x³ - 4 x²+ 3 x - x² + 4 x - 3 - x³ + 4 x² - 4 x ] / ( x² - 4 x + 3 )²

c-à-d

f '( x ) = 2 [ - x² + 3 x - 3 ) / ( x² - 4 x + 3 )²

Conclusion : On a bien f ' : x → 2 ( - x² + 3 x - 3 ) / ( x² - 4 x + 3 )²

3. Donner le signe de f '( x ) suivant la valeur de x.

Réponse:

Pour tout x dans IR - { 1 ; 3 } f ' ( x ) est du signe de - x² + 3 x - 3 .

On a le discriminant Δ = b² - 4 a c

c-à-d Δ = 9 - 4 ( - 1 ) ( - 3 )

c-à-d Δ = 9 - 12 = - 3

Donc Δ < 0

Ainsi:

- x² + 3 x - 3 est toujours du signe de a et non nul.

Or a = - 1

Donc a < 0

D'où :

f ' ( x ) < 0 pour tout x dans IR- { 1 ; 3 }

Conclusion : f ' < 0 sur IR - { 1 ; 3 }

4. En déduire le sens de variation de la fonction f.

On dressera son tableau de variation.

Réponse:

Comme f ' < 0 sur IR- { 1 ; 3 } on peut dire:

f est décroissante sur les intervalle de IR - { 1 ; 3 } .

Tableau de variation :

x	- ∞ 1 3 + ∞
f ' ( x )	- \|\| - \|\| -
f ( x )	↓ \|\| ↓ \|\| ↓

Remarque:

Comme f ' < 0 sur IR - { 1 ; 3 } aucune tangente à la courbe ne pourra

avoir un coefficient directeur positif.

Par exemple il ne serait pas possible de trouver une tangente parallèle

à la droite d'équation y = 2 x + 3.

---------------------------------------------------------------------------------------

EXERCICE 2.

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

Soit la fonction f : x → ( x² - 1 )² / x³ définie dans IR* ,

de courbe représentative ( C ).

Soit la droite D: y = x.

1. Déterminer les points communs éventuels de D et ( C ).

Il suffit de résoudre dans IR* l'équation :

( x² - 1 )² / x³ = x ( 1 )

Soit x un réel non nul .

( 1 ) s'écrit : ( x² - 1 )² = x⁴

c-à-d ( x² - 1 )² - ( x² ) ² = 0

c-à-d ( x² - 1 - x² ) ( x² - 1 + x² ) = 0

c-à-d - ( 2 x² - 1 ) = 0

c-à-d 2 x² - 1 = 0

c-à- d x² = 1 / 2

c-à-d x = 1 / √ 2 ou x = - 1 / √ 2

Conclusion: Les deux points sont A ( 1 / √ 2 ; 1 / √ 2 )

et B ( - 1 / √ 2 ; - 1 / √ 2 )

2. Trouver f ' ( x ) pour x dans IR*.

Réponse:

f : x → ( x² - 1 )² / x³

c-à-d

f : x → ( x⁴ - 2 x² + 1 ) / x³

c-à-d

f : x → x - ( 2 / x ) + ( 1 / x³ )

Donc f est la somme de trois fonctions définies et dérivables dans IR*.

On a :

f ' x → 1 - ( - 2 / x² ) + ( - 3 / x⁴ )

Conclusion: f ' : x → 1 + 2 / x² - 3 / x⁴

3. Donner le signe de f '( x ) suivant x.

En déduire le sens de variation de f.

Réponse:

Soit x dans IR*.

On a :

f ' ( x ) = ( x⁴ + 2x² - 3 ) / x⁴

f ' ( x ) est du signe de x⁴ + 2x² - 3 pour tout x dans IR*.

c-à-d ( x² )² + 2 x² - 3

Considérons X² + 2 X - 3 en posant X = x² .

Donnons d'aboerd le signe de X² + 2 X - 3 .

1 est une racine évidente.

L'autre racine est donc c / a = - 3 / 1 = - 3

Comme X = x² le tableau de signe est:

X	0 1 + ∞
X² + 2 X - 3	- 3 - 0 +

• X > 1 se traduit par x² > 1 c-à-d x < - 1 ou x > 1

Dans ce cas ( x² )² + 2 x² - 3 > 0

c-à-d f ' ( x )> 0

• 0 ≤ X ≤ 1 se traduit par 0 ≤ x² ≤ 1 c-à-d -1 ≤ x ≤ 1

Dans ce cas ( x² )² + 2 x² - 3 ≤ 0

Donc f ' ( x ) ≤ 0 quand x dans [ - 1 , 1 ] - { 0 }

Conclusion: f ' > 0 sur ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [

f ' ≤ 0 sur [ - 1 , 1 ] - { 0 }

Ainsi :

Conclusion: f est croissante sur ] - ∞ , - 1 ] U [ 1 , + ∞ [

f est décroissante sur [ - 1 1 ] - { 0 }

SPE TES

Espace membre

TS Sujets

INFO DS 6 AVRIL 2010 1 ES