INFO DS n °3 1ES-L

                   Devoir surveillé n° 3               1ES- L               07 novembre 2011

        EXERCICE 1

                   Soit la fonction  trinôme du second degré

                           f : x → 2 x2 - 4 x + 5

               1. Donner la forme canonique de f( x ).

            Réponse:            On a la forme canonique:

                           f(x) = a ( x +  b / ( 2a ) )2   -  Δ / ( 4 a )

                              Ici              a = 2             b = - 4        c = 5

                            Δ = b2 - 4 a c

                           c-à-d            Δ = 16 - 4 ×2 × 5 = 16 - 40 = - 24

                            Ainsi           -  Δ / ( 4 a ) = 24 / 8 = 3        et         b / ( 2 a ) = -  4 / 4 = -  1   

                          Donc:

                   Conclusion :     f( x ) = 2 ( x - 1)2 + 3        avec x réel

               2.Donner le tableau de variation de la fonction f.

                     Réponse : 

                   a > 0     car a = 2         f est  de sens de variation:

x - ∞                     1                       + ∞
f( x )              ↓             3             ↑

               3. Résoudre l'équation f( x ) = 0 dans IR.

                   Réponse :                   

                     On a :       Δ < 0         

                  Donc   Aucune racine pour l'équation du second degré  f( x ) = 0

             Conclusion :          SIR   = Ø      

               4. Résoudre l'inégalité f( x ) > 5 .

                      Faisons une résolution graphique.

                      Soit la droite horizontale D: y = 5

                      D coupe la courbe Cf en deux points dont les abscisses sont 0 et 2.

                    Sur les intervalle ] - ∞ , 0 [   et   ] 2 , + ∞ [   la courbe est strictement au dessus de D.

                     Conclusion :        SIR =  ] - ∞ , 0 [  U  ] 2 , + ∞ [            

              fonction-f.gif

         EXERCICE 2

              Une entreprise fabrique des armoires en merisier massif.

              Le coût de production  C( n ) , exprimé en milliers d'euros pour

              n armoires fabriquées, est donné par la fonction C avec :

                   C( n ) = 0,02 n2  - 2n + 98    pour n dans l'intervalle [ 50 ; 150 ].

                1. Chaque armoire est vendue 1500 € .

                    Calculer le montant V( n ), exprimé en milliers d'euros , pour la vente 

                    de n armoires.

                 Réponse :    Attention à l'unité demandée. On veut des milliers d'euros

                                    comme pour le coût C( n ).

                    On a :

                     V( n ) = 1500 n     €

                     Donc    

              . Conclusion :   V( n ) = 1,5 n    en milliers d'euros

                 2. On note B( n ) le bénéfice pour n armoires vendues.

                     Exprimer B( n ) en fonction de n.

                Réponse:

                     On a :

                      B( n ) = V( n ) - C( n )              en milliers d'euros

                  c-à-d 

                        B( n ) = 1,5 n - (  0,02 n2  -  2n + 98    )

                   c-à- d

      Conclusion :    B( n ) =  -  0,02 n2  + 3,5 n - 98    en milliers d'euros

                 3. Déterminer l'intervalle des valeurs de n pour lesquelles

                     la production est rentable.

                                  courbe-fonction-cout-c-1.jpg

                       

                Réponse:

                Déjà on impose:   50 ≤  n ≤  150 d'après l'énoncé.

                 On considère par ailleurs : B( n ) ≥ 0

                 c-à-d   -  0,02 n2  + 3,5 n - 98   ≥ 0

                    Δ = 3,52 - 4 × 0,02  × 98 = 4,41 = 2,12

                 Δ > 0    

                  Les deux racines sont:

                ( - b -  √ Δ  ) / ( 2 a ) = ( - 3,5 - 2,1 ) / ( - 0,04  ) = 140

           et     ( - b -+ √ Δ  ) / ( 2 a ) = 35

                 Nous voulons que B( n ) soit du signe de  - a  , nous

                    devons prendre n  entre les racines en les acceptant. 

                Donc    35 ≤ n ≤ 140

               Mais vue la contrainte au départ:

          Conclusion :  La production est rentable quand   50 ≤ n ≤ 140     

            On pouvait faire la courbe de la fonction B et voir le phénomène.


     EXERCICE 3

                 Résoudre dans IR l'inégalité  ( 5x2 + 18x +13 ) ( x - 7 ) ≤ 0

            Réponse:

                Pour  5x2 + 18x +13 = 0  une racine évidente est - 1    

                car 5 + 13 = 18

             L'autre racine est donc - c / a = - 13 / 5

              a = 5       Donc  a > 0

             On peut indiquer le signe de 5x2 + 18x +13 suivant x.

             Tableau :

x -  ∞                - 13 / 5         - 1           7           +∞         
5x2 + 18x +13          +              0        -           0             +
x-7    -                                                          0            +
( x - 7 )( 5x2 + 18x +13 )       -                 0         +         0    -       0            +    

 

                Conclusion :      SIR = ] - ∞ , - 13 / 5 ] U [ - 1 ; 7 ]

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