TD de programmation linéaire

   TD     Page 102  Livre  Hyperbole 1ES                     18/09/09

           Soit le système de contraintes:

               x ≥ 0

               y ≥ 0

               y ≤ - x + 18

               y  ≤ - 2 x + 30

                y  ≤ - ( 1 / 3 ) x + 13

            où x est un entier naturel repésentant le nombre de tables et y un

           entier naturel représentant le nombre de buffets.

            • Résolvons  graphiquement ce système.

            • Puis déterminons le bénéfice maximal sachant que    

              chaque table rapporte 200 € et chaque buffet rapporte 300 €.

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    Réponse:

        1. On trace les droites d'équations 

            y =- x + 18 

            y = - 2 x + 30  ,

            y = - ( 1 / 3 ) x + 13.

          associées à chaque inégalité.

        2. Pour chacune il y a un bon demi plan.   

           Les points  à gauche de l'axe des ordonnées sont refusés.

            Les points  en dessous de l'axe des abscisses  sont refusés.  

            Figure:

              

      Les points , à coordonnées entières de la zone non hachurée , frontière comprise,

                ont leur coordonnées qui sont les solution du système.

         3. Le bénéfice pour une production de x tables et y buffets est:

               B( x , y ) = 200 x + 300 y            euros

               Considérons l'équation:  y = - ( 2 / 3 ) x + B / 300

        On  peut tracer la droite  y = - ( 2 / 3 )  x qui passe par l'origine

        pour un bénéfice nul.

                        

      On peut ensuite translater cette droite  vers le haut jusqu'au dernier point M ( x , y ) à

       coordonnées entières de la zone bonne.  

       Cet ultime point M a pour coordonnées  ( 8 ; 10 ).

       Le bénéfice maximum est donc : 200 × 8 + 300 × 10 = 4600 euros

        Il correspond à 8 tables et 10 buffets.

      Avec Geogebra: