Stage d'insertion BTS1

 

 

                                                           Stage d'intégration

                                                                                                                                                                                     10  Septembre 2008

                                                                   BTS

 

                                          TRAVAIL DE MATHEMATIQUES.

 

 

                                                         

          Premier travail

 

                 

                          Soit une fonction  f  définie sur IR par :       

                         f (x) = ( x² + a x ) ex + b      pour tout nombre réel x.    

                       ( a et b désignent deux réels.). 

                 1. Déterminer les réels a et b , sachant que la courbe de la fonction  f  passe par

                     le point A( 0 , 2) et qu'elle  admet au point B  d'abscisse 1 une tangente

                    horizontale.                   

                 2. La courbe (C) de la fonction  coupe la droite d'équation y = 2 en deux points

                     A et E.

                     Calculer l'abscisse de E.

                     Quelle est l’abscisse du second point de la courbe où la tangente

                     est horizontale ?                          

        Second travail

       Voici les cours en euros de clôture de l’action DANONE au cours des derniers mois.

 

30/9/04

29/10/04

30/11/04

31/12/04

31/01/05

28/2/05

31/3/05

29/4/05

31/5/05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62.8

65.6

65.5

67.05

71.5

75.25

76.75

72.4

74.75

 

30/6/05

29/7/05

31/8/05

1/9/05

72.7

81.6

85.1

87.2

 

           1. Tracer la courbe des cours de clôture en fonction des dates.

           2. Quel était le meilleur moment pour acheter, pour vendre en 2005 ?

           3. Un épargnant a acheté 15 actions le 31 /12/04 et les a revendues le 29/4/05.

               Quel est le solde de son opération boursière sachant qu’il a payé 7 euros

               de frais ?

           4. Quel est le cours moyen de l’action pendant la période du 30/9/04 au 31/8/05 ?

           5. En admettant qu’entre le 31/08/05 et le 31/12/05 la croissance du cours de l’action

               soit linéaire quel cours peut-on espérer le 31/12/05 ?

           6. En convertissant les 12 premières dates par les nombres 0,1 , 2 , 3,…….,11

               considérer les deux nuages de points formés des six premiers points et des six

               derniers points.

               A l’aide de la méthode de MAYER donner une droite d’ajustement

               pour le nuage des douze  premiers points

      CONSIGNES POUR REPONDRE DE FACON CLAIRE ET RIGOUREUSE. 

         1. Lire en totalité l’énoncé.

         2. Utiliser les connaissances du cours pour aller chercher sur le graphique les

             informations demandées.

         3. Annoncer chaque question en mettant son numéro et quelques mots pour

             rappeler l’objet de la recherche menée.

         4. Vérifier que les informations détectées ne sont pas contradictoires.

         5. Mettre en évidence les réponses en écrivant « conclusion » et en les encadrant.

                                     -----------------------------------------------------------------------

           Information

             Premier travail.

          1.    Le point A(0,2) est sur la courbe de  f .

                Ainsi :       f (0) = 2 .

               Ce qui  se traduit par : (0² + 0 a) e0 + b =  2     c-à-d    

 

b =

               La fonction  f   est définie et dérivable sur IR  comme somme et

               produit de telles fonctions.

               Soit x dans IR .

                  f  ' ( x ) = ( x² + a x +2 x +a) ex  

                La tangente au point B( 1 ,  f ( 1 ) ) est horizontale.

                Ainsi: f ' (1) = 0 .

                  Ce qui se traduit par : ( 1² + a 1 +2  +a) e1  = 0   c-à-d    3 + 2 a = 0 

                   c-à-d  a = - 3 / 2 .           

a = - 3 / 2

                          2.     Considérons :   f   ( x ) = 2

                              c-à-d      ( x² - (3 / 2) x ) ex  + 2 = 2

                              c-à-d      x ( x - 3 / 2  ) ex   = 0          ( exp est non nulle   sur  IR ) 

                              c-à-d      x = 0    ou  ( x - 3 / 2  ) = 0    

                              c-à-d   x = 0   ou   x =  3 / 2.      Ainsi l'abscisse du second point E

                             d'ordonnée 2 est:

xE  =  3 / 2
 

                               Considérons :  

                           f  ' ( x ) =  0   c-à-d       ( x² - ( 3 / 2 ) x +2 x -( 3/ 2)) ex   = 0    

                                c-à-d       x² + ( 1 / 2 ) x  -( 3/ 2)  = 0    ( exp est non nulle sur  IR )   

                                 c-à-d       2 x² +  x  - 3 = 0    

           On sait déjà que 1 est une racine, l'autre est donc:    c / a = - 3 / 2    

                   Le second point où la tangente  est horizontale  est d'abscisse :    

   

x  = - 3 / 2
         

                                      -----------------------------------------------         

        Second travail

               2.     31/01/05  pour l'achat  .

                        01/09/05   pour la vente.

               3.         - 67.05 × 15 +72.4 × 15  - 7 = 73.25   

                           Au 29/04/05:

Solde : 73.25   euros de gain    
                       

               4. Cours moyen:      ( 62.8 +  .......+ 85.1 ) / 12  = 871 / 12 = 72.58   

    

Cours moyen:  72.58   euros     
                

                5. Cours espéré au 31/12/05 en cas de croissance linéaire.

                      Gain en une journée: 87.2 - 85.1 = 2.1 euros

                      Nombre de jours: ( sept., oct. nov. , déc. )  :  122 jours

                     Cours espéré :           85.1  +  122× 2.1 = 341.3  euros   

Cours espéré:  341.3   euros     

 

                    6. Premier point moyen:   G1 ( 2,5     ;    67,95  )      

               ( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) /6 =  2,5

                              ( 62,8 + ..... + 75,25 ) / 6 =   67,95

 

                         Second point moyen:   G2  (  8,5   ;  77,21    )                

                              ( 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +11 ) / 6 = 8 ,5

                        ( 76,75 +................+ 85,1 ) / 6 =  77,21

     

  Equation de la droite  d'ajustement  ( G1 G2 ):  y =1.54 x + 64.08    
                                                                           

            --------------------                  --------------------                 ----------------