LISTE D'EXERCICES SUR LES BARYCENTRES.
EX 1 Soit A et B deux points distincts du plan.
Soit U l'ensemble des points du plan tels que les vecteurs 4 vect(MA) + 4 vect(MB)
et vect(MA) + 7 vect(MB) soient de même norme.
REP • Soit H le milieu du segment [ AB ] . c'est l'isobarycentre des points A et B.
On peut dire que H le barycentre des points pondérés ( A , 4 ) et ( B , 4 ).
• Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , 7 ). Il existe car
1 + 7 = 8 non nul.
On a: vect(MA) + 7 vect(MB) = ( 1 + 7 ) vect(MG) ( Prop. fond. )
4 vect(MA) + 4 vect(MB) = ( 4 + 4 ) vect(MH) ( Prop. fond.)
U est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs 8 vect(MG)
et 8 vect(MH) soient de même norme ,
c-à-d tels que MG = MH.
Conclusion: U est la médiatrice du segment [ GH ].
EXERCICE 2.
L'espace est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).
Soit les points A ( 3 ; 2 ; 1 ) B ( 1 ; 4 ; - 1 ) C( - 1/ 2 ; 2 ; 1 )
1. Montrer que le point G ( 9/ 4 ; 1 ; 2 ) est le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) , ( B , - 1 ),
(C, 1 ) .
2. a. Trouver le coordonnées du point D , barycentre des points
pondérés ( A , 2 ) et ( B , - 1 ).
b. Trouver les coordonnées des vecteurs vect( DC ) et vect( GC ).
3. Trouver le réel λ tel que : vect( DC ) = λ vect( GC ).
4. Que peut-on dire des points D , G , C ?
REP. 1. G existe car 2 - 1 +1 = 2 non nul. xG = ( 2 × 3 - 1 × 1 + 1× ( - 1 / 2 ) ) / ( 2 - 1 + 1 ) = 9 / 4 yG =( 2 × 2 - 1 × 4 + 1 × 2 ) / ( 2 - 1 + 1 ) = 1 zG =( 2 × 1 - 1 × ( - 1 ) + 1 × 1 ) / ( 2 - 1 + 1 ) = 2
En effet :
xD = ( 2 × 3 - 1 × 1 + ) / ( 2 - 1 ) = 5
yD = ( 2 × 2 - 1 × 4 ) / ( 2 - 1 ) = 0
zD = ( 2 × 1 - 1 × ( - 1 ) ) / ( 2 - 1 ) = 3
b. vect( DC ) est de coordonnées ( - 11 / 2 ; 2 ; - 2 ).
En effet:
xC - xD = - 1 / 2 - 5 = - 11 / 2
yC = yD = 2 - 0 = 2
zC - zD = 1 - 3 = - 2
vect( GC ) est de coordonnées ( - 11 / 4 ; 1 ; - 1 ) .
En effet :
xC - xG = - 1 / 2 - 9 / 4 = - 11/ 4
yC = yG = 2 - 1 = 1
zC - zG = 1 - 2 = - 1
3. On a λ = 2 .
En effet
xC - xD = 2 ( xC - xG )
yC = yD = 2 ( yC = yG ) zC - zD = 2 ( zC - zG )
4. D , G , C sont alignés.
En effet :
Les vecteurs vect( DC ) et vect ( GC ) sont colinéaires