INFO 2 LISTE EX TRIGO 1S1 DEC

    INFO 2   LISTE    D' EXERCICES  TRIGO         1S1      16 Déc. 09

           Pour l'exercice 1 voir l' INFO 1

   EXERCICE 2

                 a. Résoudre dans l'intervalle [ - Π , 3 Π / 2 ] l'équation:

                         2 cos² x - 3 cos x + 2 = 0

                  b . Résoudre dans  l'intervalle [ - Π , 3 Π / 2 ] l'équation :

                              cos² x - 3 cos x + 2 = 0

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           Réponse:

                      a.  L'équation  2 cos² x - 3 cos x + 2 = 0   se traduit par:

                                    

                                 Résolvons d'abord (  2 ).

                                 L'équation  ( 2 ) admet  comme discriminant

                                    Δ = b² -  4 a c

                       c-à-d      Δ = 9 - 16 = - 7

                       c-à-d       Δ < 0

                             Aucune solution pour l'équation ( 2 ).

                               Donc l'équation ( 1 ) aussi n'a aucune solution.

                               Conclusion:     SIR =   Ø 

                                 Ainsi on a aussi :    S[ -   Π ,  3  Π / 2 ]  =  Ø 

 

 

                      b.  L'équation   cos² x - 3 cos x + 2 = 0   se traduit par:

                                                 

                          • Résolvons d'abord (  2 ).

                              L'équation  ( 2 ) admet  1 comme racine évidente

                             car 1 - 3 + 2 = 0.  Son autre racine est donc c / a = 2

                             Ainsi :   X = 1 ou X = 2

                          • Pour chaque valeur de X trouvée résolvons ( 1 ).

                                 • • X = 2 

                                  L'équation ( 1 ) s'écrit  cos x = 2.  

                                    C'EST IMPOSSIBLE   car  - 1 ≤ cos x  ≤ 1.

                                 • • X = 1

                                         L'équation ( 1 ) s'écrit  cos x = 1.

                                           c-à-d      cos x = cos 0

                                            c-à-d       x = 0 [ 2 Π]   ou  x = - 0  [ 2 Π] 

                                             c-à-d       x = 0 [ 2 Π]  

                             Dans IR l'ensemble solution de ( 1 ) est :

                                          { 0+ 2 kΠ  / k dans Z }

                             Le seul multiple de  2 Π qui se trouve dans l'intervalle [ -   Π , 3  Π / 2 ]

                             est 0.

                             Conclusion :   S[ -   Π ,  3  Π / 2 ]  =  { 0 }

                             

 

 

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            EXERCICE 3

 

                       Résoudre dans IR l'équation : cos x + sin x = 1 / √2

 

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          Réponse:   ( Exercice de synthèse )

              Considérons:         cos x + sin x = 1 / √2     (  1 )

                            Nous allons transformer le membre de gauche pour le mettre

                              sous la forme     √2  × cos( x -  Π / 4 ).

                             On sait que : cos( Π / 4 ) =  sin ( Π / 4 ) = 1 / √2

                               cos x + sin x =  [  cos( Π / 4 )  cos x +  sin ( Π / 4 )  sin x ] √2

               c-à-d        cos x + sin x = [ cos ( x -  Π / 4  )  ]  √2     à l'aide de  la formule en cos ( θ -  θ' )

               Ainsi l'équation ( 1 ) s'écrit :   √2   cos ( x -  Π / 4  ) =  1 / √2

               c-à-d     cos ( x -  Π / 4  ) =  1 / 2

                c-à-d   cos ( x -  Π / 4  ) =  cos(  Π / 3 )        DE LA FORME CONNUE   cos a = cos b

                  c-à-d      x -  Π / 4   =   Π / 3    [ 2 Π  ]     ou      x -  Π / 4   = -  Π / 3    [ 2 Π  ] 

                        c-à-d      x =  Π / 4   +   Π / 3    [ 2 Π  ]    ou      x =  Π / 4   -  Π / 3    [ 2 Π  ] 

                        c-à-d       x = 7 Π  / 12    [ 2 Π  ]    ou      x =   -  Π / 12    [ 2 Π  ] 

                Conclusion :  SIR = { 7 Π  / 12   + 2k Π  /  k dans Z } U {     -  Π / 12   +  2k Π /  k dans Z }