INFO 2 DV n° 2 Maison TES spé

                    INFO 2  DEVOIR MAISON         SPE   TES             Lundi 7 nov. 2011

 

                EXERCICE    n ° 55 page 414

     ABCDEFGH représente un parallélépipède rectangle.

        fig55bis.jpg

      AE =AB = 3

      AD = 4

      L est le milieu du segment [FG].

     N est le milieu du segment [ AD].

     On considère le repère orthonormal 

      (A ; vect( i ), vect( j ) , vect( k )  )

          avec :

              vect( i ) = (1/ 3) vect(AB )

             vect( j ) = ( 1 / 4 ) vect( AD )

              vect(k ) = ( 1 / 3 ) vect( AE ) 

      Le point M est définit par  vect( EM )= ( 3 / 4 ) vect( EH )

      Le point P est définit par  vect(BP ) = ( 1 / 4 ) vect( BC )

      Faire une figure.

          fig55.jpg

  1. Calculez les coordonnées de chacun des points  L M N et P.

           Réponse:

           On a d'après les informations de l'énoncé:

           A ( 0 ; 0 ; 0 )   B( 3 ; 0 ; 0 )  C( 3 ; 4 ; 0 )  D( 0 ; 4 ; 0 )

           E( 0 ; 0 ; 3 )      F( 3 ; 0 ; 3 )   G( 3 ; 4 ; 3 )  H( 0 ; 4 ; 3 )

          • On sait que  :       vect( EM ) = ( 3 / 4 ) vect( EH )

            c-à-d      xM - 0 = ( 3 / 4 ) ×( 0 - 0 )

                          yM - 0 = ( 3 / 4 ) ×( 4 - 0 )

                          zM - 3 = ( 3 / 4 ) ×( 3 - 3 )

              Donc   xM = 0

                         yM = 3                    Ainsi  on a   M( 0 ; 3 ; 0 )

                        zM = 0

           •   On sait  que : vect( BP ) = ( 1 / 4 ) vect( BC )  

              c-à-d                     

                          xP - 3 = ( 1 / 4 ) ×( 3 - 3 )

                          yP - 0 = ( 1 / 4 ) ×( 4 - 0 )

                          zP - 0 = ( 1 / 4 ) ×( 0 - 0 )

                 c-à-d                      

                          xP = 3

                          yP  = 1                                          Ainsi on a  :      P( 3; 1 ; 0 )

                          zP  = 0  

               •   L est le milieu du segment [ FG ]

                     Donc :  

                         xL =  ( 3 + 3 ) / 2 = 3

                          yL  = ( 0 + 4 ) / 2 = 2                             Ainsi on a  :      L( 3; 2 ; 3 )

                          zL  = ( 3 + 3 ) / 2 = 3

             •   N est le milieu du segment [ AD]

                       Donc:

                          xN =  ( 0 + 0 ) / 2 = 0

                          yN  = ( 0 + 4 ) / 2 = 2                             Ainsi on a  :      N( 0 ; 2 ; 0 )

                          zN  = ( 0 + 0 ) / 2 = 0

                     Conclusion :  

                     On a :  L( 3 ; 2 3 )  ,  M( 0 ; 3 ; 3 ) , N( 0 ; 2 ; 0 ) , P( 3 ; 1 ; 0 )

           b Calculez les coordonnées des vecteurs vect( LM ) et vect( PN ).

               Réponse:

                   On a  vect( LM ) de coordonnées ( 0 - 3 ; 3 - 2 ; 3 - 3 )

               Conclusion : On a   vect( LM ) de coordonnées ( - 3 ; 1 ; 0 )

                On a  vect( PN ) de coordonnées ( 0 - 3 ; 2 - 1 ; 0 - 0 )                               

                  Conclusion : On a   vect( PN ) de coordonnées ( - 3 ; 1 ; 0 )

             c . Déduisez-en que LMNP est un parallélogramme.

               Réponse:

                Comme les vecteurs vect( LM ) et vect( PN ) ont les mêmes   coordonnées

               ils sont égaux.

                          vect( LM ) = vect( PN )

                   Conclusion : On a  LMNP qui est bien un parallélogramme

            2.a. Calculez les coordonnées du vecteur vect( MN ).

                   Réponse:

                 Les coordonnées du vecteur vect( MN ) sont   ( 0 - 0 ; 2 - 3 ; 0 - 3 )

                   Conclusion :   On a  vect( MN ) de coordonnées ( 0 - 1 ; - 3 )    

                b. Calculez les longueurs LM et MN.

                        Réponse:

                  || vect( LM )  ||  = √(  ( - 3 )2 + 12 + 02 ) = √10

                  || vect( MN )  ||  = √(  02 + ( -1 )2 +( - 3 )2 ) = √10

                Conclusion :   On a     LM = MN = √10   

               c. Déduisez de ce qui précède que LMNP est un losange.

                 Réponse:

                  •   On sait déjà que  LMNP est un paramllélogramme.

                  •   De plus deux côtés consécutifs [ LM ]  et [ MN ] sont de même longueur.

                 C'est donc un parallélogramme dont tous les côtés sont de même longueur.

                 Donc c'est un losange.

                     Conclusion :   On a   LMNP  qui est un losange.

          3. a . Montrez que les vecteurs vect( LN ) et vect( PM ) sont orthogonaux.

                  Réponse:

                 Le vecteur vect( LN ) a pour coordonnées  (

                  ( 0 -  3;  2 - 2 ; 0 -  3  )     c-à-d  ( - 3 ; 0 ; - 3 )

                Le vecteur vect( PM ) a pour coordonnées 

                 (  0- 3  ;  3 - 1  ; 3- 0  )    c-à-d ( - 3 ;  2 ;  3 )

                vect( LN ). vect( PM ) = ( - 3 )× ( - 3 )+ 0 ×(  2 ) + ( - 3 ) ×( 3 ) = 0

                On a leur produit scalaire nul.

                Donc :

                       Conclusion :   On a bien les vecteur vect( LN ) et vect( PM ) orthogonaux.

           b. En utilisant les questions 1.c et 3.a retrouvez que le quadrilatère LMNP

                 est un losange.

                  Réponse:

              On sait d'après le 1.c queLMNP est un parallélogramme.

              On sait d'après le 3.a que les diagonales [ LN ] et [ PM ] sont

               perpendiculaires.

                   Conclusion :   On a bien LMNP qui est un losange.