INFO 1 DV n° 2 Maison TES Spé

                      .  INFO   DV MAISON   n ° 3            07/11/11           Spé   TES

        . EXERCICE 57 page 414   ( Transmath chez Nathan )

    ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que : AB = 1 , AD = 2 et AE = 3.

    De plus , J est le milieu du segment [FG] et le point I est

    défini par vect( DI ) = ( 1 / 3 ) vect( DH ).

    On utilisera le repère orthogonal ( A ; vect( AB ) , vect( AD ) , vect( AE ) ).

    Ce repère n'est pas orthonormal.

       ( Le point O est le point A )

            1. Trouver les coordonnées des points C , I , J.

                   Il est sous entendu que l'on se place dans le repère

                             ( A ; vect( AB ) , vect( AD ) , vect( AE ) )

               Réponse :

     •  On a:     vect( AC ) = 1 vect( AB ) + 1 vect( AD ) + 0 vect( AE )     

           Donc :            C( 1 ; 1 ; 0 )    

      •   On a :      vect( AI ) = 0 vect( AB )+ 1 vect( AD ) + 1 vect( DI )  

                        Mais        vect( DI )  =( 1 / 3 ) vect( DH ) = ( 1 / 3 ) vect(AE )

                         vect( AI ) = 0 vect( AB )+ 1 vect( AD ) + ( 1 / 3 ) vect( AE )  

             Donc :          I( 0 ; 1 ; 1 /3 )

           •  On a :     vect( AJ ) = 1 vect( AB ) + ( 1/ 2 )vect( AD ) + 1 vect( AE )

              Donc :               J( 1 ; 1 / 2 ; 1 )

2. •Vérifier qu'une équation du plan ( CIJ ) est : x + 6 y + 3 z - 7 = 0

             Réponse:

            On a les coordonnées des points C , I , J qui vérifient cette équation de plan.

             En effet :  On a

                        1 + 6  + 3 × 0 - 7 = 0

                         0 + 6 + 3 ( 1 / 3 )  - 7 = 0

                         1 + 6 / 2 + 3  - 7 = 0      

            Donc :

                     Conclusion : Une équation du plan ( CIJ ) est :      x + 6 y + 3 z - 7 = 0

            • Vérifier qu'une équation du plan ( OIJ ) est   5 x + 2 y - 6 z = 0.       

                Réponse:            

               On a les coordonnées des point O , I , J qui vérifient cette équation de plan.

             En effet :  On a

                 5 × 0  + 2 × 0 - 6 × 0  = 0.      Le point O étant le point A .

                 5 × 0 + 2  - 6 ( 1 / 3 ) = 0.    

                 5  + 2 ( 1 / 2 ) - 6  = 0.    

               Donc :  Une équation du plan ( OIJ ) est :      5x + 2 y - 6 z = 0

       3. On note L le point d'intersection de la droite ( IJ ) avec le plan ( ABC ).

             a. Indiquez un système d'équations de la droite ( I J ).

               Réponse :

               C'est le sytèmes des équations des deux plans ( CIJ) et

              ( OIJ ) c-à-d ( AIJ ).

                Ainsi :

                          Conclusion :   x + 6 y + 3 z - 7 = 0

                                                 5 x + 2 y - 6 z = 0

            b.  Préciser les coordonnées de L.

                 Réponse:

                   Le plan ( ABC ) a pour équation z = 0

                  Ainsi L est solution du système : 

                             x + 6 y + 3 z - 7 = 0        L₁

                             5 x + 2 y - 6 z = 0           L₂

                                                z = 0           L₃

             c-à-d           x + 6 y = 7        L₁

                              5 x + 2 y  = 0          L₂

                                         z = 0          L₃

             L₂   ←   L₂  - 5 L₁ 
             On obtient le système équivalent suivant:

                                    x + 6 y   = 7              L₁

                                      - 28 y    = - 35          L₂

                                                z = 0             L₃

             On a triangulariser le système.

               Ainsi :           L₃         donne z = 0

              Puis :        L₂    donne    y = 35 / 28 = 5 / 4 

              Enfin :         L₁   donne     x = 7 - 6 ( 5 / 4 ) = 7 - 15 / 2    = - 1/ 2      

                      Conclusion : On a L( - 1 / 2 ; 5 / 4  ; 0 )

         4. Calculez de même les coordonnées de M et N , intersections

             respectives de ( IJ ) avec le plan (ABE ) et avec le plan ( ADE).

                       Réponse:

              • Pour ( IJ ) ∩ ( ABE ) = { M }.

                  Une équation du plan ( ABE ) est:   y = 0

                  Des équations de la droite ( IJ ) sont :                               

                           x + 6 y + 3 z - 7 = 0       

                             5 x + 2 y - 6 z = 0         

              Ainsi  le point M a ses coordonnées solution du système:                         

                          x + 6 y + 3 z - 7 = 0        L₁

                             5 x + 2 y - 6 z = 0           L₂

                                                 y = 0          L₃

                           c-à-d                                   

                             x + 3 z = 7                L₁

                             5 x  -   6 z = 0           L₂

                                         y = 0             L₃

                        L₂  ← L₂ - 5 L₁

                       On obtient le système équivalent :

                                     x + 3 z = 7             L₁

                                       - 21 z = - 35           L₂

                                               y = 0             L₃

            Le système a été triangularisé.

                               L₃        donne  y = 0

                         Puis  L₂    donne      z = 35 / 21 = 5 / 3

                        Enfin L₁      donne      x =  7 - 3 z = 7 - 3 ( 5 / 3 ) =( 21 - 1 5 ) / 3  6 / 3 = 2

              Conclusion : On  a  le point   M( 2 ; 0 ; 5 / 3 )

                  • Pour ( IJ ) ∩ ( ADE )= {N }.                   

                   Une équation du plan ( ADE ) est:   x = 0

                  Des équations cartésiennes de la droite ( IJ ) sont :                               

                           x + 6 y + 3 z - 7 = 0       

                             5 x + 2 y - 6 z = 0         

              Ainsi  le point N a ses coordonnées solution du système:                   

                             x + 6 y + 3 z - 7 = 0        L₁

                             5 x + 2 y - 6 z = 0           L₂

                                                 x = 0          L₃

                           c-à-d                                      

                             6 y + 3 z - 7 = 0        L₁

                              2 y - 6 z = 0           L₂

                                        x = 0          L₃

       Permutons les deux premières équations.    L₁   ↔     L₂                          

                    2 y - 6 z = 0                  L₁             

                    6 y + 3 z = 7            L₂

                               x = 0                 L₃

                Considérons    L₂   ← L₂ -  3 L₁          

           On obtient :       

                        2 y - 6 z = 0                  L₁             

                               21 z   = 7            L₂

                                    x = 0                 L₃          

                 On a :

                           L₃          donne x = 0

                            L₂         donne   z = 7 / 21 = 1 / 3

                           L₁           donne  y = 3 z = 3 ( 1 /3 ) = 1

             Conclusion :    Ona : N( 0 ; 1 ; 1 / 3 )

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